[論文レビュー] Existence and uniqueness results for possibly singular nonlinear elliptic equations with measure data

Linda Maria De Cave, Riccardo Durastanti+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、p-ラプラシアン作用素と測度データを含む特異非線形楕円型方程式の解の存在と一意性を確立する。下位項 H(u) は u=0 の近傍で発散する可能性がある。著者らは一意性を保証するため、再正規化解の枠組みを導入し、特異性の強さ γ ≤ 1 の場合に解が再正規化されることを証明し、p ≠ 2 および一般非線形性への既存結果の拡張を達成した。

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of solutions to a nonlinear elliptic boundary value problem with a general, and possibly singular, lower order term, whose model is $$\begin{cases} -\Delta_p u = H(u)\mu & ext{in}\ \Omega,\\ u>0 & ext{in}\ \Omega,\\ u=0 & ext{on}\ \partial\Omega. \end{cases}$$ Here $\Omega$ is an open bounded subset of $\mathbb{R}^N$ ($N\ge2$), $\Delta_p u:= \operatorname{div}(| abla u|^{p-2} abla u)$ ($1<p<N$) is the $p$-laplacian operator, $\mu$ is a nonnegative bounded Radon measure on $\Omega$ and $H(s)$ is a continuous, positive and finite function outside the origin which grows at most as $s^{-\gamma}$, with $\gamma\ge0$, near zero.

研究の動機と目的

• 特異非線形楕円型方程式の解の存在と一意性を、測度データおよび可能なかぎり特異な下位項を伴う場合に確立すること。
• 線形の場合（p=2）の再正規化解枠組みを、非線形p-ラプラシアン設定（1 < p < N）に拡張すること。
• 特異性の強さ γ ≤ 1 の場合に解が再正規化されることを証明し、一般条件下での一意性を保証すること。
• 有限および特異 H(u)（例：H(s) ~ s^{-γ}）と一般測度データ µ を同時に取り扱うこと。
• H(s) が退化する場合（ある s > 0 でゼロになる）の解の正則性を分析し、有界性および局所エネルギー可積分性を示すこと。

提案手法

• 測度データおよび特異下位項を伴うp-ラプラシアンに対する分布的解の枠組みの使用。
• H(u) および µ の切り上げと正則化による近似スキームの構築、特に特異 H の場合に特化。
• 成長制御と正則性のテストに、切り上げ関数 Tk(u)、Gk(u) および補助関数 πk と θk の使用。
• 弱形式において極限に移行するために、ファトゥの補題およびルベーグの有界収束定理の適用。
• 一意性を保証するため、テスト関数 S ∈ W^{1,∞}(R) でコンパクトな台を持つ再正規化解概念の適応。
• 測度および解の特異性を扱うために、容量に基づく議論およびcapp準連続代表元の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-ラプラシアン方程式に特異下位項 H(u)µ と測度データが与えられたとき、分布的解が存在する条件は何か？
• RQ2 解の一意性はいつ成立し、再正規化解概念は一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 H(s) ~ s^{-γ} の形の特異性強度 γ は、解の可積分性および正則性にどのように影響するか？
• RQ4 H(s) が退化する場合（ある s1 > 0 で H(s1) = 0）に解はどのように振る舞い、有界性およびエネルギー空間への属性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 H が連続的かつ有限（γ = 0）である場合、既知の p=2 の場合を越えて、p ≠ 2 に対しても解の存在と一意性が拡張可能か？

主な発見

• 測度データおよび一般 H(u)（γ ≥ 0 の s^{-γ} 型特異性を含む）を伴う特異p-ラプラシアン問題に対して、分布的解が存在する。
• γ ≤ 1 の場合、解は再正規化解である。これは、一般非線形性 H および拡散測度に対しても一意性を保証する。
• γ > 1 の場合、解は W^{1,p}_{loc}(Ω) に属するが、一般には W^{1,p}_0(Ω) に属さず、切り上げ Tk(u) はエネルギー空間に属さない。
• H(s) が退化する場合（ある s1 > 0 で H(s1) = 0）、γ ≤ 1 のとき解は W^{1,p}_0(Ω) ∩ L^∞(Ω) に属し、γ > 1 のときは W^{1,p}_{loc}(Ω) ∩ L^∞(Ω) に属する。
• H(s1) = 0 かつ µ が拡散的（µ_c ≡ 0）である場合、解は L^∞(Ω) に有界で、 ‖u‖_{L^∞(Ω)} ≤ s1 を満たす。
• H が非増加的かつ µ が拡散的である場合、一般の p > 1 および非星型領域に対しても、再正規化解の一意性が成立する。