[論文レビュー] Existence and Upper Semicontinuity of Attractors for Stochastic Equations with Deterministic Non-autonomous Terms

Bixiang Wang|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非有界領域における乗法的ノイズと時刻依存の確定的駆動を伴う確率的反応拡散方程式に対して、型のついた確率的吸引子の存在および上半連続性を確立する。一様尾挙動評価と二パラメータの確率的力学系枠組みを用いて、駆動関数が周期的である場合には吸引子が周期的であることを証明し、ノイズ強度がゼロに近づく際に確定的吸引子に上半連続に収束することを示す。

ABSTRACT

We prove the existence and uniqueness of tempered random attractors for stochastic Reaction-Diffusion equations on unbounded domains with multiplicative noise and deterministic non-autonomous forcing. We establish the periodicity of the tempered attractors when the stochastic equations are forced by periodic functions. We further prove the upper semicontinuity of these attractors when the intensity of stochastic perturbations approaches zero.

研究の動機と目的

• 非有界領域における乗法的ノイズと時刻依存の確定的駆動を伴う確率的反応拡散方程式に対して、型のついた確率的吸引子の存在と一意性を確立すること。
• 確定的駆動関数が時刻周期的である場合に、その吸引子が時間的に周期的であることを証明すること。
• ノイズ強度がゼロに近づく際のこれらの吸引子の上半連続性を、コンパクト埋め込みが成立しない非有界領域の文脈においても調査すること。
• 異なるノイズ強度において解の解釈に一様な尾挙動評価を用いて、$ L^2(ℝ^n) $ におけるコンパクト性の欠如を克服すること。
• 従来の文献で取り扱われていなかった、確率的ノイズと確定的非自己同型駆動の両方を受ける系における確率的吸引子理論を拡張すること。

提案手法

• 式 (1.1) を $ \mathbb{R}^n $ 上でストラトノヴィッチの意味で定式化し、乗法的ノイズと時刻依存の確定的駆動 $ g(t,x) $ を含む。
• 確率的ノイズと確定的駆動のための別々の確率空間を用いて二パラメータの確率的力学系を構築し、非自己同型力学系の解析を可能にする。
• エネルギー法とグロワール型不等式を用いて、ノイズ強度 $ \alpha \in [0,1] $ に依存しない、解の $ H^1 $-ノルムおよび $ L^2 $-ノルムに対する一様事前推定を導出する。
• 大規模な空間的球外における解の $ L^2 $-ノルムに対する一様尾挙動評価を確立し、すべての $ \alpha \in [0,1] $ に対して、吸引子内の解の質量がコンパクト集合外で一様に小さいことを証明する。
• 一様尾制御と有界領域におけるコンパクト埋め込みから導かれる吸引子の和集合の前コンパクト性を用いて、上半連続性を証明する。
• パrameter 変化におけるプルバック吸引子の上半連続性の抽象的枠組みを適用し、コサイクルの収束と一様有界性による収束条件の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域における乗法的ノイズと時刻依存の確定的駆動を伴う確率的反応拡散方程式に対して、型のついた確率的吸引子は存在するか？
• RQ2 確定的駆動関数が周期的である場合、その確率的吸引子は時間的に周期的となる条件は何か？
• RQ3 コンパクトなソボレフ埋め込みが非有界領域で成立しないにもかかわらず、ノイズ強度 $ \alpha \to 0 $ の際に確率的吸引子が確定的吸引子に上半連続に収束するか？
• RQ4 ノイズ強度 $ \alpha \in [0,1] $ に対して一様に成立する解の尾挙動評価を確立できるか、これにより $ L^2(\mathbb{R}^n) $ の非コンパクト性を克服できるか？
• RQ5 確率的ノイズと確定的非自己同型項の両方を受ける系に対して、確率的吸引子理論を拡張することは可能か？

主な発見

• 時刻依存の確定的駆動 $ g \in L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}; L^2(\mathbb{R}^n)) $ を伴う確率的方程式 (1.1) は、$ L^2(\mathbb{R}^n) $ において一意な型のついた確率的吸引子を有する。
• 駆動関数 $ g $ が時刻周期的である場合、対応する型のついた確率的吸引子も時間的に周期的である。
• 解の尾挙動に対する一様推定が確立される：任意の $ \eta > 0 $ に対して、$ K = K(\tau, \omega, \eta) $ および $ T = T(\tau, \omega, D, \eta) $ が存在し、すべての $ t \geq T $ および $ \alpha \in [0,1] $ に対して $ \int_{|x| \geq K} |u_\alpha|^2 \, dx \leq \eta $ が成り立つ。
• 吸引子の和集合 $ \bigcup_{0 < \alpha \leq 1} \mathcal{A}_\alpha(\tau, \omega) $ は $ L^2(\mathbb{R}^n) $ で前コンパクトである。これは上半連続性の証明に不可欠である。
• 吸引子の上半連続性が成立する：$ \lim_{\alpha \to 0} \text{dist}_{L^2(\mathbb{R}^n)}(\mathcal{A}_\alpha(\tau, \omega), \mathcal{A}_0(\tau)) = 0 $ であり、非有界領域でも成立する。
• 吸引子の一様有界性とコサイクルの収束に基づき、抽象的結果を用いて収束が確立される。これはパrameter 変化におけるプルバック吸引子連続性に関する結果に依拠する。