[論文レビュー] Existence of densities for multi-type CBI processes

Martin Friesen, Peng Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非等方的Besov空間の正則性を用いて、$\mathbb{R}_{+}^{d}$ 上の多型CBI過程の遷移確率密度の存在を満たす十分条件を確立する。Malliavin微積分やラプラス変換解析を避けており、確率積分のモーメント推定と、新規の非等方的枠組みを用いて、有限次元分布が成分ごとの制御された滑らかさを持つ密度を持つことを証明する。

ABSTRACT

Let X be a multi-type continuous-state branching process with immigration (CBI process) on state space $\mathbb{R}^d$. Denote by $g_t$, $t \geq 0$, the law of $X_{t}$. We provide sufficient conditions under which $g_t$ has, for each $t > 0$, a density with respect to the Lebesgue measure. Such density has, by construction, some anisotropic Besov regularity. Our approach neither relies on the use of Malliavin calculus nor on the study of corresponding Laplace transform.

研究の動機と目的

• 非退化拡散や複雑なジャンプ機構のため、通常は解析が困難な多型CBI過程 $\mathbb{R}_{+}^{d}$ 上での遷移確率密度の存在を確立すること。
• 非退化拡散が存在しない場合（$c_i = 0$）に特に問題となる、Malliavin微積分やラプラス変換解析に依存する従来の手法の限界を克服すること。
• 多型CBI過程の異なる成分の非均質な挙動を捉えるために、非等方的Besov空間を導入することで、成分別に特徴づけられる正則性を反映する枠組みを構築すること。
• すべての $t > 0$ に対して、CBI過程の遷移分布 $g_t$ がLebesgue測度に関して密度を持つような一般条件を提示すること。
• 特に、拡散係数が消える場合にも適用可能な、一般のLévy駆動ジャンプ機構を有するアフィン過程への解析的道具の拡張を図ること。

提案手法

• 各成分の正則性を個別に測るため、$a = (a_1,\dots,a_d)$ を満たす $a_i > 0$ かつ $\sum a_i = d$ であるパラメータを有する非等方的Besov空間 $B_{1,\text{infty}}^{\lambda,a}(\mathbb{R}^d)$ を導入する。
• 特に $\eta \leq \gamma \leq 2$ の場合に有効な、Poisson確率測度に関する確率積分のモーメント推定（補題19）を用いて、解パスの正則性を制御する。
• Malliavin微積分に依存しない、非等方的Besov空間における正則性推定を通じて密度の存在を確立する手法を、[6, 13, 20] で提案された技術を応用して適用する。
• ドリフト、拡散、ジャンプ成分に分解されたCBI過程の生成作用素を分析し、ジャンプ機構を分岐（$\mu_i$）と移住（$\nu$）の部分に分解する。
• $\nu$ および $\mu_i$ に可積分性条件を課し、特に $\alpha \in (0,1)$ に対して $\nu(dz) \sim |z|^{-d-\alpha}$ となるように設定することで、ジャンプによる十分な滑らかさを保証する。
• パラメータ $(c,\beta,B,\nu,\mu)$ に対して、$t > 0$ に対して遷移分布 $g_t$ が非等方的Besov空間 $B_{1,\infty}^{\lambda,a}$ に密度を持つような十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多型CBI過程の $\mathbb{R}_{+}^{d}$ 上の有限次元分布がLebesgue測度に関して密度を持つための条件は何か？
• RQ2 Malliavin微積分やラプラス変換解析を用いずに、密度の存在を確立することは可能か？
• RQ3 多型CBI過程の異なる成分の非等方的挙動を、密度の正則性にどのように反映させることができるか？
• RQ4 特に $\alpha$-安定的減衰を示すジャンプ機構が、密度の存在に必要な滑らかさ効果をどのように果たすか？
• RQ5 密度が属する正確な正則性クラス（非等方的Besov空間の観点から）は何か？また、これはジャンプおよび拡散パラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 任意の $t > 0$ に対して、Lévy成分の可積分性および非退化性の弱い条件のもとで、多型CBI過程の遷移分布 $g_t$ はLebesgue測度に関して密度を持つ。
• 密度は、非等方的Besov空間 $B_{1,\infty}^{\lambda,a}(\mathbb{R}^d)$ に属し、パラメータ $a$ によって決定される成分別正則性を反映している。
• すべての $i$ に対して $c_i = 0$（純ジャンプの場合）であっても、本手法は適用可能であり、非退化拡散に依存する従来の手法の主要な限界を克服する。
• 移住機構が $\nu(dz) = \mathbf{1}_{\{|z| \leq 1\}}(z) \frac{dz}{|z|^{d+\alpha}} + \nu'(dz)$ で、$\alpha \in (0,1)$ を満たす場合、$\alpha > \frac{\gamma_0}{1+\gamma_0}$ であれば密度が存在する。ここで $\gamma_0$ はジャンプ強度に関連するパラメータである。
• Malliavin微積分やラプラス変換技術を一切用いず、Poisson確率積分のモーメント推定とBesov正則性理論に依拠する。
• 結果は、$\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+^d$ 上のアフィン過程へ一般化可能であり、鍵となる洞察は、拡散がなくてもジャンプによる滑らかさが密度の存在を保証する点にある。