[論文レビュー] Existence of spatially differentiable solutions of stochastic differential equations with non-globally monotone coefficient functions

Anselm Hudde, Martin Hutzenthaler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非グローバルに単調でない係数関数をもつ確率微分方程式（SDE）に対して、局所的単調性条件と追加の正則性仮定を導入することにより、連続的に微分可能な解の存在を確立する。主な貢献は、有界な微分係数を要するという制限的要件を越えて空間的微分可能性の結果を拡張し、実世界の応用から生じるより広いクラスのSDEに対して伊藤＝アレクセエフ＝グロブナー公式を適用可能にする点にあり。

ABSTRACT

Spatial differentiability of solutions of stochastic differential equations (SDEs) is required for the Ito-Alekseev-Grobner formula and other applications. In the literature, this differentiability is only derived if the coefficient functions of the SDE have bounded derivatives and this property is rarely satisfied in applications. In this article we establish existence of continuously differentiable solutions of SDEs whose coefficients satisfy a suitable local monotonicity property and further conditions. These conditions are satisfied by many SDEs from applications.

研究の動機と目的

• 既存の文献が空間的微分可能性に有界な微分係数を要するという制限を扱う。
• グローバル単調性や有界な微分係数よりも弱い条件でありながら、依然として空間的微分可能性を保証する条件を同定する。
• 係数関数がグローバルに単調でない、あるいは有界な微分係数を持たない実用的応用から生じるSDEに適用可能な枠組みを確立する。
• 非滑らかまたは非グローバルに単調な係数関数をもつSDEにおける感度解析や制御応用の理論的基盤を提供する。

提案手法

• SDEのドリフトおよび拡散係数に対して、局所的単調性条件を主要な構造的仮定として導入する。
• 微分可能性を保証するのに十分な滑らかさを確保するため、係数関数に追加の正則性条件を課す。
• 確率積分計算と事前推定を用いて、局所的近傍における解の挙動を制御する。
• 局所的微分可能性を提案された条件下で、グローバルな連続的微分可能性へと拡張するための局所化技術を用いる。
• 不規則な係数をもつSDEの文脈において、不動点論法と比較原理に依拠する。
• 係数関数の正則性と局所的単調性の性質に基づく、ブートストラップ論法を通じて微分可能性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルに単調でない係数関数をもつSDEが、依然として空間的微分可能な解をもつための条件は何か？
• RQ2 既存の微分可能性結果において要請される有界な微分係数の要件は、不規則な係数をもつSDEに対して緩和可能か？
• RQ3 係数関数のどのような構造的性質が、連続的微分可能な解の存在を保証するか？
• RQ4 局所的単調性は、SDE解のグローバルな微分可能性の証明にどのように活用できるか？
• RQ5 提案された条件は、実用的応用から生じるSDEをどの程度カバーするか？

主な発見

• 本稿では、係数関数に局所的単調性条件が成立する限り、グローバルに単調でない、あるいは有界な微分係数を持たないSDEに対しても、連続的微分可能な解の存在を証明する。
• 提案された条件は、多くの応用から生じるSDEを満たしており、伊藤＝アレクセエフ＝グロブナー公式の適用範囲を拡張する。
• 従来の文献で標準的とされるグローバルリプシッツ性や有界な微分係数の条件を要しないで、微分可能性の結果を確立している。
• 本手法は、不規則な係数に特化した、局所化、事前推定、不動点論法の新規な組み合わせに依拠している。
• この枠組みにより、グローバルには単調でないが局所的には単調な係数関数をもつSDEの解析が可能となり、微分可能性理論の適用範囲が拡大される。
• 本結果は、非滑らかまたは非グローバルに単調な係数関数をもつSDEにおける感度解析や制御応用の理論的基盤を提供する。