[論文レビュー] Strong and weak divergence of exponential and linear-implicit Euler approximations for stochastic partial differential equations with superlinearly growing nonlinearities

Matteo Beccari, Martin Hutzenthaler+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

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ひとこと要約

本稿では、超線形に成長する非線形項を有する確率的偏微分方程式（SPDEs）—特に確率的Allen-Cahn方程式—に対する指数型Eulerスキームおよび線形陰的Eulerスキームが、強い収束および数値的弱収束の発散を示すことを確立している。Lyapunov型関数とSobolev埋め込みを用いた逆の事前評価により、著者らは、時間刻みが小さくなるにつれて数値解のp次のモーメントが無限大に発散することを証明し、超線形のドリフトを有するSPDE設定における明示的スキームの安定性に関する未解決問題を解決した。

ABSTRACT

The explicit Euler scheme and similar explicit approximation schemes (such as the Milstein scheme) are known to diverge strongly and numerically weakly in the case of one-dimensional stochastic ordinary differential equations with superlinearly growing nonlinearities. It remained an open question whether such a divergence phenomenon also holds in the case of stochastic partial differential equations with superlinearly growing nonlinearities such as stochastic Allen-Cahn equations. In this work we solve this problem by proving that full-discrete exponential Euler and full-discrete linear-implicit Euler approximations diverge strongly and numerically weakly in the case of stochastic Allen-Cahn equations. This article also contains a short literature overview on existing numerical approximation results for stochastic differential equations with superlinearly growing nonlinearities.

研究の動機と目的

• 超線形に成長する非線形項を有するSPDEsに対して、明示的Euler型スキームがSODEの場合と同様に発散するかどうかという未解決問題を解明すること。
• 1次元SODEsにおける超線形ドリフトを有する既知の発散結果を、特に確率的Allen-Cahn方程式を含むSPDEsへと拡張すること。
• このようなSPDEsに対して、完全離散化された指数型および線形陰的Euler近似が、強い意味でも弱い意味でも収束しないことを確立すること。

提案手法

• 解が急速に成長するというレアイベントを推定するために、Lyapunov型関数と逆のGronwall型不等式を用いて逆の事前評価を導出する。
• SPDE設定において、パスワイズな正則性とモーメント成長を関連付けるためにSobolev埋め込み定理を適用する。
• 初期データの尾部推定を活用して、数値解が大きなしきい値を超える確率の下界を構築する。
• 空間射影と時間離散化を伴う2つの特定のスキーム（指数型Eulerおよび線形陰的Euler）を分析する。
• SPDE生成作用素の作用素論的性質と有限次元近似を用いて、離散解の正則性と成長を制御する。
• スキームがモーメント爆発を引き起こすために必要な構造的条件を満たしていることを確認することで、SPDEsに対する一般の発散枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形に成長する非線形項を有するSPDEsに対して、明示的Euler型スキームは、SODEの場合と同様に強い収束および弱収束の発散を示すか？
• RQ2 SODEsにおける超線形ドリフトを有する発散現象は、Allen-Cahn方程式のような確率的反応拡散方程式へと拡張可能か？
• RQ3 初期データおよびノイズ構造にどのような条件が、SPDEsの完全離散化された指数型および線形陰的Eulerスキームにおけるモーメント爆発を引き起こすか？

主な発見

• 任意の p ∈ (0, ∞) に対して、完全離散化された指数型Euler近似のp次のモーメントは、時間刻みが0に近づくにつれて無限大に発散する。
• 同一のSPDEおよび初期データの条件下で、線形陰的Eulerスキームに対しても同様の発散結果が成り立つ。
• 発散は、初期データが厚尾を有する場合でさえも、超線形ドリフトによって解パスが急速に成長するレアイベントによって駆動される。
• 解析により、数値スキームがモーメントバインディングを維持しないことが確認され、強い意味でも弱い意味でも不安定性が示された。
• 空間離散化の選択にかかわらず、射影および作用素の性質が満たされていれば、結果は安定である。
• フレームワークは、Allen-Cahnの場合における q ≥ 2 を含む一般の多項式非線形項のドリフトへも適用可能である。