[論文レビュー] Existence of Weak Conical Kähler-Einstein Metrics Along Smooth Hypersurfaces

Chengjian Yao|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、滑らかな連続的メソッドと局所モーザー反復法を用いて、コンパクト・ケーラー多様体内の滑らかな超曲面に沿って、$(0, 2\pi)$ の錐角をもつ弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量の存在を確立する。負、ゼロ、正のリッチ曲率の場合の存在性を証明し、正のリッチ曲率の場合にはねじれケーラー・エネルギー汎関数の正規性と $c_1(L_D) \geq 0$ を仮定する必要がある。$C^0$ 評価と局所正則性技法により、背景の錐型計量に依存せずに一様 $C^2$ 評価を達成する。

ABSTRACT

The existence of \emph{weak conical Kähler-Einstein} metrics along smooth hypersurfaces with angle between $0$ and $2π$ is obtained by studying a smooth continuity method and a \emph{local Moser's iteration} technique. In the case of negative and zero Ricci curvature, the $C^0$ estimate is unobstructed; while in the case of positive Ricci curvature, the $C^0$ estimate obstructed by the properness of the \emph{twisted K-Energy}. As soon as the $C^0$ estimate is achieved, the local Moser iteration could improve the \emph{rough bound} on the approximations to a \emph{uniform $C^2$ bound}, thus produce a \emph{weak conical Kähler-Einstein} metric. The method used here do not depend on the bound of any background conical Kähler metrics.

研究の動機と目的

• コンパクト・ケーラー多様体内の滑らかな超曲面に沿って、任意の錐角 $2\pi\beta$（$\beta \in (0,1)$）をもつ弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量の存在を確立すること。
• Brendle や Campana-Guenancia-Pâun の先行研究で制限されていた $\beta \leq \frac{1}{2}$ の制限を除去すること。
• 特異な電流方程式の滑らかな近似を用いることで、事前にある錐型ケーラー計量に依存しない手法を開発すること。
• 一様 $C^2$ 評価を、$C^0$ 評価を達成した後に局所モーザー反復法を用いて得ることで、弱い錐型解の構成を可能にすること。

提案手法

• 特異電流 $(1-\beta)\chi$ を滑らかな形式 $\chi_\epsilon$ で近似することで、滑らかな連続的経路を構築し、特異計量の直接的解析を回避する。
• 右辺が $L^p$ 空間（$p < \frac{1}{1-\beta}$）に属する複素マングェ・アンペール方程式に対するコロジエフの局所 $L^p$ 評価を用いて、$C^0$ 評価を導出する。
• $C^0$ 評価と一様直径制御から得られる下界付きリッチ曲率の下界のもとで、チェーン＝ルの不等式を用いて粗い $C^2$ 評価を取得する。
• 局所モーザー反復法を適用し、粗い $C^2$ 評価を、$\epsilon$ に依存しない形 $C^{-1}\omega_{\beta,\epsilon} \leq \omega_{\phi_\epsilon} \leq C\omega_{\beta,\epsilon}$ の一様 $C^2$ 評価に高める。
• 局所モデル計量 $\omega_\beta$ への準等長性に依存し、事前にある錐型ケーラー計量に依存しない。
• 下界付きリッチ曲率の下界と体積正規化から、一様ソボレフ定数が得られ、これによりモーザー反復における局所 $L^p$ 評価の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての錐角 $\beta \in (0,1)$ に対して、弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量が存在可能か？$\beta \leq \frac{1}{2}$ の制限は不要か？
• RQ2 特異的連続的経路に依存しないで、滑らかな連続的メソッドが弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量の構成に有効か？
• RQ3 正のリッチ曲率の場合に $C^0$ 評価が保証される条件は何か？ねじれケーラー・エネルギー汎関数の正規性と解の存在性の関係は？
• RQ4 局所モーザー反復法を用いて、錐型設定における粗い $C^2$ 評価を一様 $C^2$ 評価に高めることは可能か？
• RQ5 弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量の正則性は、$C^2$ を超えて、特に Hölder または $C^{2,\alpha}$ の意味で期待できるか？

主な発見

• $\mu < 0$ の場合、コhomological 条件 $c_1(X) = \mu[\omega_0] + (1-\beta)c_1(L_D)$ を満たす限り、追加の仮定なしにすべての $\beta \in (0,1)$ に対して弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量が存在する。
• $\mu = 0$ の場合、すべての $\beta \in (0,1)$ に対して弱い錐型ケーラー・アインシュタイン計量が存在し、$C^0$ 評価は妨げられず、$D$ が正であっても独立に成立する。
• $\mu > 0$ の場合、$c_1(L_D) \geq 0$ およびねじれケーラー・エネルギーが正規であるという追加仮定のもとで存在が確立され、$C^0$ 評価が保証される。
• 局所モーザー反復法により、粗い $C^2$ 評価が、$\epsilon$ に依存しない形 $C^{-1}\omega_{\beta,\epsilon} \leq \omega_{\phi_\epsilon} \leq C\omega_{\beta,\epsilon}$ の一様 $C^2$ 評価に成功し、弱い錐型解が得られる。
• 本手法は、背景の錐型ケーラー計量を一切必要とせず、従来の手法とは異なり、一般の角度領域における存在性の新しい道筋を提供する。
• 弱い解の正則性は未解決の問題のままであるが、$C^2$ 評価が一様であること、および解がモデル計量 $\omega_\beta$ に準等長であることが示されている。