[論文レビュー] Exotic symplectic manifolds from Lefschetz fibrations

Maksim Maydanskiy|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、$n$ が偶数のとき、余接 bundle $T^*S^{n+1}$ に余臨界的ハンドルを付加することにより、すべての奇数次元の複素次元において、微分同相ではあるがシンプレクティック同相ではない一対のリーマン領域 $W_0$ と $W_1$ を構成する。シーデルの包絡ホモロジーにおける正確な三角形を用いて、著者らは $W_1$ の包絡ファウケイカテゴリが自明であることを示し、これはコンパクトな正確なラグラングィアン部分多様体を含まないことを意味する。一方 $W_0$ には正確なラグラングィアン球面が存在することから、それらのシンプレクティック同型でないことが証明される。

ABSTRACT

In this paper we construct, in all odd complex dimensions, pairs of Liouville domains W_0 and W_1 which are diffeomorphic to the cotangent bundle of the sphere with one extra subcritical handle, but are not symplectomorphic. While W_0 is symplectically very similar to the cotangent bundle itself, W_1 is more unusual. We use Seidel's exact triangles for Floer cohomology to show that the wrapped Fukaya category of W_1 is trivial. As a corollary we obtain that W_1 contains no compact exact Lagrangian submanifolds.

研究の動機と目的

• 奇数次元の複素次元において、微分同相ではあるがシンプレクティック同相ではない異種シンプレクティック多様体を構成すること。
• 包絡ホモロジーと包絡ファウケイカテゴリを用いて、リーマン領域のシンプレクティック型を区別すること。
• 包絡ファウケイカテゴリが自明であるリーマン領域 $W_1$ の存在を示すことにより、コンパクトな正確なラグラングィアン部分多様体が存在しないことを示すこと。
• レフシェッツファイブレーションとフローリエ理論的不変量を用いて、微分同相ではあるがシンプレクティック同型ではない具体例を提供すること。

提案手法

• $n$ が偶数のとき、$T^*S^{n+1}$ に余臨界的 $n$-ハンドルを付加することにより、ディスク上のレフシェッツファイブレーションの全空間として $W_0$ と $W_1$ を構成する。
• ファイバー内の消滅サイクルとサンダルを用いて、レフシェッツファイブレーションによる全空間の位相的性質を符号化する。
• フローリエホモロジーにおけるシーデルの正確な三角形を適用し、$W_0$ と $W_1$ のサンダルの包絡ホモロジー群を比較する。
• $W_1$ では $HW(ar{A}, ar{A}) = 0$ であるのに対し、$W_0$ では $HW(ar{A}, ar{A}) \neq 0$ であることを、スペクトル系列と加群構造を用いて示す。
• 消滅する包絡ホモロジーが、スペクトル系列の議論により、コンパクトな正確なラグラングィアンが存在しないことを示す事実を活用する。
• リーマン領域の完備化を用いて、無限遠におけるシンプレクティック同相を定義し、コンパクトに台を持つ正確な形式を用いてリーマン同型を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相である二つのリーマン領域は、包絡ホモロジー不変量によって区別可能か？
• RQ2 リーマン領域における包絡ファウケイカテゴリの自明性は、コンパクトな正確なラグラングィアン部分多様体の不在を示唆するか？
• RQ3 余臨界的ハンドルの付加は、リーマン領域の包絡ホモロジーおよびシンプレクティック位相にどのように影響するか？
• RQ4 レフシェッツファイブレーションを用いて、同一の滑らか多様体上に異種シンプレクティック構造を構成可能か？
• RQ5 シーデルの正確な三角形は、リーマン領域におけるシンプレクティック非同型を検出するためにどのように機能するか？

主な発見

• リーマン領域 $W_0$ と $W_1$ は微分同相ではあるがシンプレクティック同相ではない。これは、異種シンプレクティック多様体の新たなクラスを提供する。
• $W_1$ は、すべてのサンダルについて包絡ホモロジーが消えることから、自明な包絡ファウケイカテゴリを持つ。
• $W_1$ では包絡ホモロジー $HW(\bar{A}, \bar{A})$ が消えるが、$W_0$ では非ゼロであるため、それらのシンプレクティック型が区別される。
• $W_1$ にはコンパクトな正確なラグラングィアン部分多様体が存在しないが、$W_0$ には正確なラグラングィアン球面 $S^{n+1}$ が存在する。
• スペクトル系列の議論により、$W_1$ において $HF(L,L) = 0$ が $HW(L,\bar{A}) = 0$ のとき成り立つが、これはホモロジーが消える場合を除き、フローリエの結果と矛盾する。
• この構成により、余臨界的ハンドルの付加が、滑らか型は保たれてもフローリエ理論的不変量を劇的に変化させうることが示された。