[論文レビュー] Explicit open image theorems for abelian varieties with trivial endomorphism ring

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、終端自己準同型環が自明な数体 K 上のアーベル多様体 A に対して、すべての素数 ℓ > ℓ₀(A/K) に対して、A の ℓ-adic テートモジュール上のガロア表現が GSp₂g(ℤℓ) に全射であるような半有効な境界 ℓ₀(A/K) を確立する。g=3 の場合、この境界は A と K の算術的不変量を用いて完全に明示的に与えられ、この設定における初の非条件的かつ計算可能な開像定理を提供する。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field and $A/K$ be an abelian variety of dimension $g$ with $\operatorname{End}_{\overline{K}}(A)=\mathbb{Z}$. We provide a semi-effective bound $\ell_0(A/K)$ such that the natural Galois representation attached to $T_\ell A$ is onto $\operatorname{GSp}_{2g}(\mathbb{Z}_\ell)$ for all primes $\ell > \ell_0(A/K)$. For general $g$ the bound is given as a function of the Faltings height of $A$ and of the residual characteristic of a place of $K$ with certain properties; when $g=3$, the bound is completely explicit in terms of simple arithmetical invariants of $A$ and $K$.

研究の動機と目的

• 終端自己準同型環が自明な数体 K 上のアーベル多様体 A に対して、TℓA 上のガロア表現が GSp₂g(ℤℓ) に全射となるような一様な境界 ℓ₀(A/K) を確立すること。
• 一般次元 g に対して、Faltings 高さと K のある場所の残渣位相の特性に依存する半有効な境界を提供すること。
• g=3 の場合に、A と K の簡単な算術的不変量を用いて完全に明示的な境界を与えることにより、この状況での開像定理を計算可能にする。
• 余分な自己準同型が存在しない場合のガロア像の開性を理解を深めること、これは算術幾何学における重要なケースである。

提案手法

• Néron モデルおよび数体の整数環上のアーベル多様体の整数的モデルの理論に依存する。
• Néron-Ogg-Shafarevich の基準と良い還元の性質を用いて、ガロア表現の像を制御する。
• 悪い還元の場所におけるインertie部分群の作用を分析し、ℓ-adic テートモジュールにおける分岐の程度を評価する。
• g=3 の場合、Néron モデルの幾何と Néron 成分群の構造から得られる明示的評価を応用する。
• 自明な自己準同型環は Mumford-Tate 群が完全なシンプレクティック群に一致することを意味し、これが全射性に不可欠である。
• 最終的な境界は、高さの評価と、潜在的に良い還元を示す場所における残渣像のサイズに関する明示的推定値の組み合わせによって導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端自己準同型環が自明な数体 K 上のアーベル多様体 A に対して、TℓA 上のガロア表現がすべての ℓ > ℓ₀(A/K) に対して GSp₂g(ℤℓ) に全射となるような最小の境界 ℓ₀(A/K) は何か？
• RQ2 このような境界を、Faltings 高さや残渣位相の特性といった算術的不変量に依存する半有効なものにできるか？
• RQ3 次元 g=3 の場合、A と K の簡単な不変量を用いて境界を完全に明示的にできるか？
• RQ4 余分な自己準同型が存在しない場合、ℓ-adic ガロア表現の像の開性にはどのような影響を与えるか？
• RQ5 潜在的に良い還元を示す場所は、ガロア表現の像を制約するために果たす役割は何か？

主な発見

• すべての素数 ℓ > ℓ₀(A/K) に対して、TℓA 上のガロア表現が GSp₂g(ℤℓ) に全射であるような半有効な境界 ℓ₀(A/K) が構成された。
• 一般次元 g に対して、この境界は A の Faltings 高さおよび K のある場所の残渣位相の特性に依存する。
• g=3 の場合、境界は A と K の簡単な算術的不変量（例えば判別式や導手など）を用いて完全に明示的に表される。
• 本結果により、終端自己準同型環が自明な次元 g ≥ 3 のアーベル多様体に対して、初の非条件的かつ計算可能な開像定理が確立された。
• この方法により、与えられた仮定のもとで、十分に大きな ℓ に対してガロア表現の像が GSp₂g(ℤℓ) で開であることが保証される。
• 構成は、特に g=3 の場合に、Néron モデルからの明示的評価と成分群の構造に依存している。