[論文レビュー] On the surjectivity of mod $\ell$ representations associated to elliptic curves

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Q 上の非CM楕円曲線 E に対して、mod ℓ Galois表現 ρ_{E,ℓ} が全射でない有限個の素数 ℓ を特定する実用的なアルゴリズムを提示する。Serreの定理に基づき、フロベニウスのトレースと二次相互法則を用いて、𝔽₂ 上の線形方程式系を構築し、全射性の障害を同定する。主な結果は、計算された有限集合に属さないすべての ℓ に対して ρ_{E,ℓ} が全射であることを保証し、例外集合の上限を改善した点にある。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over the rationals that does not have complex multiplication. For each prime $\ell$, the action of the absolute Galois group on the $\ell$-torsion points of $E$ can be given in terms of a Galois representation $ρ_{E,\ell}\colon \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) o GL_2(\mathbb{F}_\ell)$. An important theorem of Serre says that $ρ_{E,\ell}$ is surjective for all sufficiently large $\ell$. In this paper, we describe a simple algorithm based on Serre's proof that can quickly determine the finite set of primes $\ell$ for which $ρ_{E,\ell}$ is not surjective. We will also give some improved bounds for Serre's theorem.

研究の動機と目的

• Q 上の非CM楕円曲線 E に対して、mod ℓ Galois表現 ρ_{E,ℓ} が全射でない素数 ℓ の有限集合を計算する実用的なアルゴリズムを提供すること。
• Serreの定理を改善し、ρ_{E,ℓ} がすべての ℓ > c(E) で全射であるような、明示的かつ計算可能な c(E) の上限を与えること。ここで c(E) は、ρ_{E,ℓ} が全射となる最小の整数である。
• ρ_{E,ℓ} が 13 より大きいすべての ℓ で全射であるが、特定の有限集合 𝒮 に属する (ℓ, j_E) のペアを除いては、という予想を検証および強化すること。
• ℓ-division多項式のGalois群を用いて、有限例外集合に属さないすべての ℓ に対して、全射性を効率的に検証可能にする仕組みを提供すること。

提案手法

• ℓ ≤ 13 であるか、(ℓ, j_E) が既知の例外集合 𝒮 に属するか、またはフロベニウスのトレース a_p(E) が ℓ で割り切れるかをチェックして、素数 ℓ の有限集合 S を構築する。
• j_E や j_E − 1728 の特定の p-adic付値条件を満たす素数 q_j を特定し、初期の障害集合を定義する。
• Kodaira記号 I₀ または I₀* を持つ素数 p_i を選別する。ここで |a_p(E_p)| ≠ 0 かつ p_i が 2q₁⋯q_d を割り切らない。
• 各 p_i に対して、Legendre記号を用いて α_{i,j} = (1 − (q_j / p_i))/2 および β_i = (1 − (−1 / p_i))/2 を計算し、𝔽₂ 上での二次剰余性をモデル化する。
• α_{i,j} および β_i の値から行列 A_m とベクトル b_m を構成し、𝔽₂ 上で線形方程式系 A_m x = b_m を解いて、全射性の障害を検出する。
• 方程式系 A_r x = b_r が解を持たない場合に停止し、集合 S にはすべての ℓ ≤ 13、(ℓ, j_E) ∈ 𝒮、および p ≤ p_r に対して a_p(E) を割り切る ℓ が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた非CM楕円曲線 E に対して、mod ℓ Galois表現 ρ_{E,ℓ} が全射でない完全な有限素数集合 ℓ は何か？
• RQ2 十分に大きな ℓ に対して ρ_{E,ℓ} が全射であるという Serre の定理を、明示的かつ計算可能な例外集合の上限を与える形に効果的に拡張できるか？
• RQ3 すべての ℓ > 13 に対して、ρ_{E,ℓ} が全射であるが、特定の j-不変量と同種条件によって定義される例外集合 𝒮 に属する (ℓ, j_E) の場合を除いては、真か？
• RQ4 ℓ-division多項式のGalois群を用いて、有限個の例外素数 ℓ に対して ρ_{E,ℓ} の全射性を効率的にテストできるか？

主な発見

• アルゴリズムは、E の j-不変量とフロベニウスのトレースにのみ依存する有限集合 S を計算し、S に属さないすべての ℓ に対して ρ_{E,ℓ} が全射であることを保証する。
• Cremonaのデータベース（導手 ≤ 500000）に含まれるすべての非CM楕円曲線 E に対して、アルゴリズムは ρ_{E,ℓ} が 𝒮 に属さないすべての ℓ > 13 で全射であることを検証し、予想1.1を支持する。
• アルゴリズムは、ρ_{E,ℓ} が全射でないのは S に属する ℓ のみであり、S が有限であることは 𝒮 の有限性と、フロベニウスのトレース a_p(E) の非消滅性から生じる。
• c(E) に対する改善された上限が得られた：すべての E に対して、ρ_{E,ℓ} は 𝒮 に属さない ℓ > 13 で全射であり、ℓ ≤ 13 の場合は明示的にチェックされている。
• ℓ ≥ 5 に対して、ρ_{E,ℓ^∞} が全射でないのは、ρ_{E,ℓ} が全射でないときのみであることが示され、ℓ-進全射性の研究が簡略化される。
• Magma で実装されたコードは、任意の非CM楕円曲線 E に対して、付値条件と 𝔽₂ 上の線形代数を用いて障害を検出することで、S を効率的に計算可能である。