[論文レビュー] Explicit Teichmüller curves with complemetary series

Carlos Matheus, Gabriela Weitze-Schmithüsen|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$k \geq 3$ に対して、明示的な算術的テイヒミュラー曲線 $Τ_{2k}$ を構成し、$Σλ(2,\mathbb{R})$-不変確率測度 $μ_{2k}$ を持つことを示し、関連する $L^2$-表現が補完的系列を示すことを証明している。これにより、スペクトルギャップが任意に小さくなることが示され、結果としてテイヒミュラー測地線流れの指数的混合速度が任意に遅くなることが示される。

ABSTRACT

We construct an explicit family of arithmetic Teichmüller curves $\mathcal{C}_{2k}$, $k\in\mathbb{N}$, supporting $ extrm{SL}(2,\mathbb{R})$-invariant probabilities $μ_{2k}$ such that the associated $ extrm{SL}(2,\mathbb{R})$-representation on $L^2(\mathcal{C}_{2k}, μ_{2k})$ has complementary series for every $k\geq 3$. Actually, the size of the spectral gap along this family goes to zero. In particular, the Teichmüller geodesic flow restricted to these explicit arithmetic Teichmüller curves $\mathcal{C}_{2k}$ has arbitrarily slow rate of exponential mixing.

研究の動機と目的

• すべての $k \geq 3$ に対して、$Σλ(2,\mathbb{R})$-不変測度 $μ_{2k}$ を持つ明示的な算術的テイヒミュラー曲線 $\mathcal{C}_{2k}$ を構成すること。
• 空間 $L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 上の $Σλ(2,\mathbb{R})$-表現が補完的系列を含むことを示すこと。
• $k$ が増加するにつれて、その表現のスペクトルギャップが 0 に近づくことを示し、これにより混合速度が任意に遅くなること。
• スペクトルギャップが消える、明示的かつ具体的な例の族を提供すること。一般には一様なスペクトルギャップが期待されるが、それとは対照的である。

提案手法

• 明示的な貼り合わせルールと群作用を用いて、算術的テイヒミュラー曲線 $\mathcal{C}_{2k}$ に対応する正方形タイル張りの曲面（オリガミ）の族を構成する。
• モジュライ空間 $\mathcal{H}_g$ 上の $Σλ(2,\mathbb{R})$-作用を用いて、$\mathcal{C}_{2k}$ 上の $Σλ(2,\mathbb{R})$-不変確率測度 $μ_{2k}$ を定義する。
• レーターの理論を用いて混合速度とスペクトルギャップの関係を適用し、テイヒミュラー流れの指数的混合速度が $L^2$-表現のスペクトルギャップに依存することを結びつける。
• エレンバーグ＝マクレインロズの有限指数部分群 $\Gamma_2(N)$ の構成（$\Gamma_2$ の中で）を活用し、$\mathbb{H}/\Gamma_2(N)$ が算術的テイヒミュラー曲線として実現されることを示す。
• レーターの研究から得られる明示的定数を用いてスペクトルギャップを推定し、$\lesssim \ln(N)/N$ の割合で減少することを示す。
• レーターの推定から得られる明示的評価に基づき、$N \geq 170$ のとき補完的系列が現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的な算術的テイヒミュラー曲線を構成できるか。その関連する $\SL(2,\mathbb{R})$-表現が $L^2$ 上で補完的系列を含むようにできるか。
• RQ2 $k \to \infty$ の極限において、$L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 上の $\SL(2,\mathbb{R})$-表現のスペクトルギャップは 0 に近づくか。
• RQ3 このような曲線の族に沿って、スペクトルギャップの減少速度はどの程度か。
• RQ4 テイヒミュラー測地線流れの混合速度が遅くなる現象は、算術的テイヒミュラー曲線上で明示的に実現可能か。
• RQ5 補完的系列が表現に現れるための $N$ の明示的下界は何か。

主な発見

• 著者らは、すべての $k \geq 3$ に対して、明示的な算術的テイヒミュラー曲線 $\mathcal{C}_{2k}$ を構成した。
• 各 $k \geq 3$ に対して、$L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 上の $\SL(2,\mathbb{R})$-表現は補完的系列を含む。
• 族 $\mathcal{C}_{2k}$ に沿って、スペクトルギャップの大きさは $k$ が増加するにつれて 0 に近づく。
• スペクトルギャップは、$N$ が族をパrameter化するパラメータとして、$\lesssim \ln(N)/N$ の割合で減少することが示された。
• レーターの研究から得られる明示的定数を用いて、$N \geq 170$ のとき補完的系列が現れることを示した。
• スペクトルギャップが消えるため、$\mathcal{C}_{2k}$ 上のテイヒミュラー測地線流れは、任意に遅い指数的混合速度を持つ。