[論文レビュー] Toward an algebraic theory of Welschinger invariants

Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特性 ≠ 2,3 である任意の完全体 k に対して、Welschinger 不変量の代数的理論を構築する。これは、del Pezzo 表面 S 上の固定された類 D に属する有理曲線で、r = −D·K_S − 1 個の点を通るものを数える、Grothendieck-Witt 環 GW(k) 内の二次的不変量として定義される。主な結果は、この不変量が対称積 Sym^r(S)^0 の A¹-連結成分上で定数であることであり、これは Welschinger の実不変量を代数的幾何学へ一般化するものである。

ABSTRACT

Let $S$ be a smooth del Pezzo surface over a field $k$ of characteristic $ eq 2, 3$. We define an invariant in the Grothendieck-Witt ring $GW(k)$ for "counting" rational curves in a curve class $D$ of fixed positive degree (with respect to the anti-canonical bundle $-K_S$) and containing a collection of distinct closed points $\mathfrak{p}=\sum_ip_i$ of total degree $r:=-D\cdot K_S-1$ on $S$. This recovers Welschinger's invariant in case $k=\mathbb{R}$ by applying the signature map. The main result is that this quadratic invariant depends only on the $\mathbb{A}^1$-connected component containing $\mathfrak{p}$ in $Sym^r(S)^0(k)$, where $Sym^r(S)^0$ is the open subscheme of $Sym^r(S)$ parametrizing geometrically reduced 0-cycles.

研究の動機と目的

• 特性 ≠ 2,3 である任意の完全体 k における代数的幾何学への Welschinger の実 Gromov-Witten 不変量の一般化。
• Grothendieck-Witt 環 GW(k) を用いた曲線数え上げの二次的精製の構成。
• 0-サイクルのパラメータ空間における A¹-ホモトピー同値に関して、Welschinger 型不変量の不変性の確立。
• 代数的閉包でない体上での指定された特異点をもつ有理曲線の符号付き数え上げを、GW(k)-値不変量を用いてグローバル代数的不変量へ拡張。

提案手法

• 各 0-サイクル η ∈ Sym^r(S)^0(k) に対して、Genus 0 の安定写像 f:C → S で像が類 D に属するものに基づき、GW(k)-値不変量 Wel_S,D(η) を定義する。
• 幾何的点 x ∈ z^{-1}(η) から関数体 k(η) へのトレース写像を用い、GW(k(x))-値不変量 Wel_{k(x)}(f_x(C_x)) を構成する。
• 得られた不変量が Sym^r(S)^0 のすべての codimension 1 点で非分岐であることを証明し、GW-層のグローバルセクションに拡張できることを示す。
• 変形理論とエタール基底変換を用いて、形式的環 k[[u]] 上の形式的スキームを介した特殊化および一般化ファイバーの持ち上げが不変量を保存することを示す。
• 特異点のスキームが基本体上エタールであることを利用し、二重点の個数と型が不変のままであることを保証する。
• GW(k) の A¹-不変性および安定写像のモジュライスタックの構造を応用し、A¹-連結成分上で不変量がグローバルに定数であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Welschinger の符号付き数え上げを、GW(k) 内の二次形式を用いて任意の体上での代数的不変量へ一般化できるか？
• RQ2 del Pezzo 表面の対称積の A¹-連結成分に制限した場合、Welschinger 型不変量は点の配置に依存しないか？
• RQ3 Grothendieck-Witt 環は、代数的閉包でない体上での指定された特異点をもつ有理曲線の符号付き数え上げをどのように表現するか？
• RQ4 形式的族における特殊ファイバーへの変形における GW-値不変量の不変性の代数的幾何学的意味は何か？

主な発見

• 代数的 Welschinger 不変量は、Sym^r(S)^0 上の Grothendieck-Witt 環の層のグローバルセクションである。これは A¹-ホモトピーに関して不変であることを示している。
• K = ℝ の場合、GW(K)-値不変量の符号が、次数 d に依存する符号を除き、Welschinger の実有理曲線の符号付き数え上げを回復する。
• GW(K)-値不変量のランクは、代数的閉包上でクラス D の有理曲線で与えられた 0-サイクルを通るものの個数に等しい。
• 不変量は Sym^r(S)^0 のすべての codimension 1 点で非分岐であり、これにより全対称積上でグローバルに拡張可能であることが保証される。
• S の点でのブ lows-up を行った場合でも、D が引き戻される限り、この構成は保存される。これは、対称積における codimension 1 点の保存に起因する。
• 不変量は Sym^r(S)^0 内の 0-サイクルの A¹-連結成分にのみ依存し、特定の代表元には依存しない。