[論文レビュー] Exponential ergodicity and regularity for equations with Lévy noise

Enrico Priola, Armen Shirikyan+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限次元および無限次元ヒルベルト空間におけるα安定Lévyノイズを伴う確率微分方程式に対して、全 Variation 範囲における指数的混合性を確立する。ハリスの定理とドーブリンのカップリング法を用いて、ドリフトが Hölder 継続的（指数 > 1 − α/2）で、非退化な対称的α安定ノイズ（1 < α < 2）であるという弱い条件下で、解が指数的に不変測度に収束することを証明する。ドリフトの小規模性仮定は必要としない。

ABSTRACT

We prove exponential convergence to the invariant measure, in the total variation norm, for solutions of SDEs driven by $α$-stable noises in finite and in infinite dimensions. Two approaches are used. The first one is based on Harris theorem, and the second on Doeblin's coupling argument. Irreducibility, Lyapunov function techniques, and uniform strong Feller property play an essential role in both approaches. We concentrate on two classes of Markov processes: solutions of finite-dimensional equations, introduced in [Priola 2010], with Hölder continuous drift and a general, non-degenerate, symmetric $α$-stable noise, and infinite-dimensional parabolic systems, introduced in [Priola-Zabczyk 2009], with Lipschitz drift and cylindrical $α$-stable noise. We show that if the nonlinearity is bounded, then the processes are exponential mixing. %under the total variation norm. This improves, in particular, an earlier result established in [Priola-Xu-Zabczyk 2010] using the weak convergence induced by the Kantorovich-Wasserstein metric.

研究の動機と目的

• α安定Lévyノイズを伴うSDEの不変測度への全 Variation 範囲における指数的収束を確立すること。
• Wasserstein距離を用いた先行研究で要請されていたドリフトの小規模性仮定を除去することで、既存結果を拡張すること。
• ドリフトおよびノイズの弱い正則性条件下で、可 irreducibility および一様強Feller性が指数的混合性を保証することを示すこと。
• Lyapunov関数および到達時間推定の役割を強調するため、ハリスの定理およびカップリングによる2通りの別個の証明を提供すること。
• 有限次元SDEおよび円柱的α安定ノイズを伴う無限次元SPDEの先行結果を一般化すること。

提案手法

• Lyapunov関数条件および小集合上の遷移核の一様小規模性の検証により、ハリスの定理を適用する。
• 異なる初期条件から出発する2つの解の最大カップリングを用いたドーブリンのカップリング議論を採用する。
• 勾配推定およびLévy過程のsupporthの性質を用いて、可 irreducibility および一様強Feller性を確立する。
• 小球への到達時間の指数モーメントの境界を用いて、カップリング時間分布を制御する。
• 解が小球に到達した際に再初期化される繰り返し停止時刻τₙを用いたカップリングチェーンを構築する。
• チェビシェフの不等式を適用して、時間kTまでにカップリングが成立していない確率を評価し、指数的減衰を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトの小規模性仮定を要請しないで、α安定Lévyノイズを伴うSDEに対して全 Variation 範囲における指数的混合性を確立できるか？
• RQ2 非ガウス型Lévyノイズの下で、可 irreducibility および一様強Feller性が、指数的混合性をどれほど保証するか？
• RQ3 非マルコフ的または非拡散型SDEに対して、ハリス法とカップリング法は、指数的混合性の証明においてどのように比較されるか？
• RQ4 有限次元および無限次元において、指数的混合性を保証するためのドリフトおよびノイズに必要な正則性条件は何か？
• RQ5 α安定過程の到達時間推定を用いて、全 Variation 範囲における収束速度の定量的評価を導けるか？

主な発見

• 有限次元SDEに対して、α安定ノイズ（1 < α < 2）および Hölder継続的ドリフト（指数η > 1 − α/2）が成立する場合、全 Variation 範囲における指数的混合性が成立する。
• 円柱的α安定ノイズおよびリプシッツ連続ドリフトを伴う無限次元放物型SPDEに対して、非線形性が有界である場合、指数的混合性が確立される。
• カップリング法により明示的な指数的境界が得られる：P(ρ > kT) ≤ C e^{-ηkT}(1 + |x₁|ᵖ + |x₂|ᵖ)（η > 0）。ここでρはカップリング時間である。
• ハリスのアプローチは、Lyapunov条件および小集合条件の検証に依存し、一様強Feller性により遷移核の正則性が保証される。
• 可 irreducibility は、α安定過程のsupporthの性質およびノイズの非退化性を用いて証明され、無限次元でも成立する。
• 先行研究[30]を改善し、Kantorovich–Wasserstein距離における弱収束を、ドリフトの小規模性を要請しないより強い全 Variation 収束に置き換えた。