[論文レビュー] Exponential improvement in precision for Hamiltonian-evolution simulation

Dominic W. Berry, Richard Cleve+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、精度スケーリングにおいて従来手法よりも指数的改善を達成する、ハミルトニアン発展演算子の量子アルゴリズムを提示する。複雑さは log(1/ε) の多項式に比例する。スパースハミルトニアンを自己逆演算子の和に分解し、誤差補正を施した圧縮Lie-Trotterシミュレーションを用いることで、時間的スケーリングはほぼ線形に、時間微分ノルムにたいする依存性は対数的になる。従来手法に比べ、誤差、時間、微分への感受性の点で顕著な性能向上を達成する。

ABSTRACT

We provide a quantum method for simulating Hamiltonian evolution with complexity polynomial in the logarithm of the inverse error. This is an exponential improvement over existing methods for Hamiltonian simulation. In addition, its scaling with respect to time is close to linear, and its scaling with respect to the time derivative of the Hamiltonian is logarithmic. These scalings improve upon most existing methods. Our method is to use a compressed Lie-Trotter formula, based on recent ideas for efficient discrete-time simulations of continuous-time quantum query algorithms.

研究の動機と目的

• 従来の量子ハミルトニアンシミュレーションアルゴリズムにおける誤差複雑さの指数的スケーリングを是正すること。従来は 1/ε の多項式に比例するが、本研究では log(1/ε) の多項式に比例するようにする。
• 従来の手法で多項式に比例していた時間微分ノルム ∥H′∥ への依存性を、本手法では対数的スケーリングに低減すること。
• 発展演算子シミュレーションにおける時間スケーリングを、線形に近づける一方で、リソースオーバーヘッドを低く保つこと。
• スパースハミルトニアンシミュレーションに、効率的な量子クエリ技術を拡張し、時間依存性や急変動するハミルトニアンに対しても優れた性能を発揮できること。

提案手法

• スパースハミルトニアン H を、1スパースで実数または虚数の自己逆ハミルトニアン Hj の和に分解し、シミュレーションを効率的に行えるようにする。
• 分解された Hj 成分にLie-Trotter積公式を適用することで、完全な時間発展演算子を近似する。
• 各 Hj を可換な自己逆演算子 Ul の和にさらに分解し、アダカ・キュービットと射影測定を用いて制御された実装を可能にする。
• 各 Ul における短時間発展演算子を、制御キュービットと制御-Ul 操作を用いて実装する。失敗確率はアダマール強化により管理する。
• Berry12の技術を用いて、複数の時間セグメントに跨るアダカレジスタ状態を圧縮し、キュービットのオーバーヘッドを低減するとともに、誤差境界を維持する。
• チェルノフの不等式を適用して総合的複雑さの上界を評価し、1/ε 要因を導入することなく、log(1/ε) における多項式スケーリングを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンシミュレーションは、従来の手法が 1/ε の多項式に比例するのに対し、log(1/ε) の多項式に比例する複雑さで達成可能か？
• RQ2 時間微分ノルム ∥H′∥ への依存性は、従来の多項式スケーリングから、本手法で対数的スケーリングに低減可能か？
• RQ3 発展演算子の時間 t に対して、線形に近いスケーリングを達成可能であり、高精度と低リソースオーバーヘッドを維持できるか？
• RQ4 圧縮量子シミュレーション技術は、誤差境界が保証され、スケーリングが向上するスパースハミルトニアン発展演算子に適応可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、複雑さが O(d²τ + log(1/ε)) log³[d(τ + τ′)/ε] n^c に比例することを示し、log(1/ε) に多項式的依存性、∥H′∥ に対数的依存性を示す。ここで τ = ∥H∥t および τ′ = ∥H′∥t である。
• オракル呼び出し数および追加ゲート数は d²∥H∥t に線形に比例し、システムパラメータに対数的要因を含む。従来のLie-Trotterベース手法に比べ顕著な改善を達成する。
• 発展演算子時間 t に対して、対数的要因を除きほぼ線形スケーリングを達成し、大多数の従来手法を上回る性能を発揮する。
• 圧縮と失敗確率の上限を精密に評価することで誤差解析を改善し、1/ε 要因を避けるためにマークフの不等式の代わりにチェルノフの不等式を用いることが可能になった。
• 時間セグメントに跨るアダカキュービットを圧縮することで、リソースオーバーヘッドを低く保ちつつ、キュービット要件を削減し、正確性を維持する。
• 結果はスパースハミルトニアンおよび局所的相互作用ハミルトニアンの和の両方に対して成り立つ。物理的量子系への広範な適用可能性を示している。