[論文レビュー] Theory of quantum computation

Emanuel Knill, Michael A. Nielsen|ArXiv.org|Oct 17, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、量子チューリング機械と量子回路を普遍的計算モデルとして確立することで、量子計算の基礎的理論を提示する。量子コンピュータが因数分解や非構造的探索といった特定の問題を、古典的コンピュータよりも指数的に高速に解けることを示し、BQPが効率的に解ける量子問題のクラスを表すことを証明するとともに、物理的に現実的なノイズ仮定のもとで量子エラー訂正が故障に強く耐える量子計算を可能にすることを示している。

ABSTRACT

Short review article on quantum computation accepted for Supplement III, Encyclopaedia of Mathematics (publication expected Summer 2001). See also http://www.wkap.nl/series.htm/ENM

研究の動機と目的

• 量子力学の原則を用いて、古典的計算の一般化として量子計算を形式化すること。
• 量子チューリング機械と量子回路を、普遍的計算モデルとして確立すること。
• 古典的および確率的モデルと比較して、量子コンピュータの計算能力を分析すること。
• 量子エラー訂正符号を用いた故障に強く耐える量子計算の可能性を調査すること。
• BQP などの量子複雑度クラスと、BPP や NP などの古典的複雑度クラスとの関係を明確にすること。

提案手法

• ヒルベルト空間内の正規直交基底状態と古典的状態を対応付けることで、量子計算モデルを構築する。
• 局所性と量子コherenceを保つように、古典的遷移関数をヒルベルト空間上に作用するユニタリ演算子に置き換える。
• 測定による投影を用いて計算結果を抽出し、受容は受容部分空間への射影によって決定する。
• 測定に基づく遷移とその後に続くユニタリ発展を導入することで、非可逆的古典的計算を一般化する。
• 量子エラー訂正符号（例えば、Shor 符号やSteane 符号）を適用し、ノイズのしきい値以下であれば故障に強く耐える量子計算を実現する。
• オракルモデルと多項式法の技術を用いて、クエリ複雑度を分析し、Grover のアルゴリズムなどの最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学を用いて、量子計算を古典的計算の一般化として形式的にモデル化できるか？
• RQ2 古典的および確率的コンピュータと比較して、量子コンピュータの計算能力は何か？
• RQ3 物理的ノイズが現実的な条件下でも、故障に強く耐える量子計算は可能か？
• RQ4 BQP などの量子複雑度クラスは、BPP や PSPACE などの古典的クラスとどのように関係するか？
• RQ5 プロミス制約なしで、量子通信複雑度に指数的ギャップが存在するか、それが証明可能か？

主な発見

• 量子チューリング機械と量子回路は、重ね合わせとユニタリ発展を通じて古典的モデルを一般化する、量子計算の普遍的モデルである。
• BQP は、有界誤差のもとで多項式時間で決定可能な言語のクラスを表し、BPP よりも厳密に大きいと予想されている。
• 量子エラー訂正符号により、1キュービットおよび1ゲートあたりのノイズが一定のしきい値未満であれば、故障に強く耐える量子計算が可能である。
• Shor の因数分解アルゴリズムは、古典的アルゴリズムよりも指数的高速化を実現し、大規模な量子コンピュータでは広く使われている公開鍵暗号が危うくなることを示唆している。
• Grover のアルゴリズムは非構造的探索に対して2乗の高速化を達成し、多項式法を用いてこれが最適であることが証明されている。
• 通信複雑度における指数的ギャップは、プロミス制約がある場合にのみ存在する。プロミス制約がない場合、既知の最大ギャップは2乗である。