[論文レビュー] Extended formulations, non-negative factorizations and randomized communication protocols

Yuri Faenza, Samuel Fiorini+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ランダム化通信プロトコルと拡張形式の間のきめ細かい関係を確立している。具体的には、スラック行列の非負ランクの対数（多面体の拡張複雑度に等価）が、行列を期待値で計算する最小のランダム化プロトコルの複雑度に等しいことを証明している。ランダム化がプロトコルの複雑度を著しく削減できることを示し、完全マッチングやスパニングツリー多面体のような多面体に対しても、決定的プロトコルが指数的サイズを強いる中で、部分指数的サイズの拡張形式を可能にする。

ABSTRACT

An extended formulation of a polyhedron $P$ is a linear description of a polyhedron $Q$ together with a linear map $π$ such that $π(Q)=P$. These objects are of fundamental importance in polyhedral combinatorics and optimization theory, and the subject of a number of studies. Yannakakis' factorization theorem [M. Yannakakis. Expressing combinatorial optimization problems by linear programs. {\em J. Comput. System Sci.}, 43(3):441--466 (1991)] provides a surprising connection between extended formulations and communication complexity, showing that the smallest size of an extended formulation of $P$ equals the nonnegative rank of its slack matrix $S$. Moreover, Yannakakis also shows that the nonnegative rank of $S$ is at most $2^c$, where $c$ is the complexity of any \emph{deterministic} protocol computing $S$. In this paper, we show that the latter result can be strengthened when we allow protocols to be \emph{randomized}. In particular, we prove that the base-2 logarithm of the nonnegative rank of any nonnegative matrix equals the minimum complexity of a randomized communication protocol computing the matrix in expectation. Using Yannakakis' factorization theorem, this implies that the base-2 logarithm of the smallest size of an extended formulation of a polytope $P$ equals the minimum complexity of a randomized communication protocol computing the slack matrix of $P$ in expectation. We show that allowing randomization in the protocol can be crucial for obtaining small extended formulations. Specifically, we prove that for the spanning tree and perfect matching polytopes, small variance in the protocol forces large size in the extended formulation.

研究の動機と目的

• ランダム化通信プロトコルを用いた拡張複雑度のきめ細かい特徴付けを確立すること。
• 通信プロトコルにおけるランダム化が、決定的プロトコルよりも著しく小さい拡張形式をもたらす可能性があることを示すこと。
• スラック行列の非負ランクの対数が、その行列を期待値で計算する最小のランダム化プロトコルの複雑度に等しいことを証明すること。
• 完全マッチング多面体およびスパニングツリー多面体において、決定的プロトコルは指数的サイズの拡張を強いるが、ランダム化プロトコルは多項式的サイズの拡張をもたらすことを示すこと。
• プロトコルの分散と拡張サイズの間のトレードオフを調査し、低分散プロトコルは大きな拡張を必要とするということを示すこと。

提案手法

• スラック行列の非負因子分解と多面体の拡張形式の間の関係を確立するために、ヤナカキスの因子分解定理を用いる。
• 期待出力がスラック行列の要素と一致するような、ランダム化通信プロトコルのモデルを導入する。
• 任意の非負行列について、その非負ランクの2を底とする対数が、行列を期待値で計算する最小のランダム化プロトコルの複雑度に等しいことを証明する。
• 既知の通信問題（例えば、集合の交差問題）を多面体のスラック行列に埋め込むことで、この結果を多面体に適用する。
• プロトコルの分散分析を用いて拡張複雑度の下界を導出し、低分散プロトコルは大きな拡張を必要とするということを示す。
• 完全グラフの完全マッチングおよびスパニングツリー多面体のスラック行列に、集合の交差問題を明示的に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スラック行列を計算する際、ランダム化通信プロトコルは決定的プロトコルよりも著しく低い複雑度を達成できるか？
• RQ2 ランダム化通信プロトコルの複雑度と多面体の拡張複雑度の間にきめ細かい対応関係があるか？
• RQ3 プロトコルの分散が拡張形式のサイズに与える影響は何か？
• RQ4 ランダム化プロトコルを用いて、完全マッチング多面体に対して部分指数的サイズの拡張形式を達成できるか？
• RQ5 決定的プロトコルが指数的サイズの拡張を強いるが、ランダム化プロトコルが多項式的サイズの拡張をもたらす多面体は存在するか？

主な発見

• 任意の非負行列について、その非負ランクの2を底とする対数は、行列を期待値で計算する最小のランダム化プロトコルの複雑度に等しい。
• $K^n$ の完全マッチング多面体について、正規化分散 $\sigma^2$ のプロトコルに対応する拡張は、$2^{\Omega(n(1-\sigma^2))}$ 以上のサイズをもつ必要がある。
• 完全マッチング多面体に対する決定的プロトコルは、指数的サイズの拡張を強いる。$\sigma^2 = 0$ ならば $\text{xc}(P) = 2^{\Omega(n)}$ である。
• $K^{2n+1}$ のスパニングツリー多面体は、集合の交差行列の埋め込みを含み、低分散プロトコルは大きな拡張を強いる。
• 複雑度 $2\lg n + O(1)$ のランダム化プロトコルが、完全マッチング多面体のスラックを期待値で計算でき、部分指数的サイズの拡張形式を可能にする。
• もし $\delta(U) \cap M$ の辺を $o(n)$ ビットの通信で特定できるならば、完全マッチング多面体は部分指数的サイズの拡張形式をもつ。