[論文レビュー] Some 0/1 polytopes need exponential size extended formulations

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、マトロイドポリトープを含む特定の0/1ポリトープが、指数的サイズの拡張定式化を必要とするということを証明している。これは、それらを正確に表現する多項式サイズの線形計画法が存在しないことを意味する。主な結果として、あるn次元の0/1ポリトープの拡張複雑度は、$2^{n/2 \cdot (1-o(1))}$以上であることが示され、$
\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$を仮定すれば、任意の実数係数を許容してもTSPのような問題に対してはコンactな定式化が不可能であることが示された。

ABSTRACT

We prove that there are 0/1 polytopes P that do not admit a compact LP formulation. More precisely we show that for every n there is a sets X \subseteq {0,1}^n such that conv(X) must have extension complexity at least 2^{n/2 * (1-o(1))}. In other words, every polyhedron Q that can be linearly projected on conv(X) must have exponentially many facets. In fact, the same result also applies if conv(X) is restricted to be a matroid polytope. Conditioning on NP not contained in P_{/poly}, our result rules out the existence of any compact formulation for the TSP polytope, even if the formulation may contain arbitrary real numbers.

研究の動機と目的

• 0/1ポリトープの族のうち、コンパクトな拡張定式化を持たないものが存在するかという未解決問題を解明すること。
• 特定の0/1ポリトープの拡張複雑度が次元とともに指数的に増大することを示すこと。
• 任意の実数係数を許容する非対称な定式化でも、これらのポリトープに対して多項式サイズの表現が得られないことの証明。
• $\mathbf{NP} \subseteq \mathbf{P_{/poly}}$でない限り、TSPポリトープはコンパクトな定式化を持たないことを確立すること。
• 従来の係数符号化仮定の制限を回避する新しい数え上げに基づく議論を提供すること。

提案手法

• 集合$X \subseteq \{0,1\}^n$から、多項式符号化長をもつ丸められた線形系$(\bar{A}, \bar{U}, \bar{b})$への単射写像を構築する。
• 拡張定式化の線形独立な部分系の中で体積を最大にするものを使って、単射性を保証する。
• 符号化長を抑えつつ近似的な実行可能性を保つように、拡張ポリトープの係数を離散化する。
• 区間制約に基づく多項式時間の検証手順を用いて、$X$への属性を確認する。
• このような線形系の数に基づく数え上げ議論を用いて、拡張複雑度に対する二重指数的下界を示す。
• TSPの決定問題を拡張定式化上での最適化問題に還元することで、$\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$の下で不計算可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的サイズの拡張定式化を必要とする0/1ポリトープが存在するか？
• RQ2 TSPポリトープは、任意の実数係数を許容するコンパクトな拡張定式化で表現可能か？
• RQ3 マトロイドポリトープに対して多項式サイズの拡張定式化を構築することは可能か？
• RQ4 n次元の0/1ポリトープの最小拡張複雑度は何か？
• RQ5 NP困難問題に対してコンパクトな定式化が存在するかどうかは、既知の複雑度仮定と矛盾するか？

主な発見

• 次元$n$の0/1ポリトープのうち、拡張複雑度が$2^{n/2 \cdot (1-o(1))}$以上であるものが存在し、指数的下界が証明された。
• 拡張定式化に任意の実数係数を許容しても、この結果は成り立つ。
• 同じ指数的下界はマトロイドポリトープに対しても成立し、この結果が一般の0/1ポリトープに限らないことが示された。
• $\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$を仮定すれば、TSPポリトープはいかなるコンパクトな拡張定式化も持たない。
• 従来の係数符号化の制限を回避するため、体積最大化と係数の離散化を用いた証明技法が用いられた。
• 構成により、部分集合$X \subseteq \{0,1\}^n$から多項式符号化線形系への単射写像が得られ、このような線形系の数に対する二重指数的下界が示された。