[論文レビュー] Extending relax-and-round combinatorial optimization solvers with quantum correlations

Maxime Dupont, Bhuvanesh Sundar|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 58被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、深さ $p=1$ のQAOAにおける2点相関行列からの量子相関を活用することで、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）を強化する量子リラックス・アンド・ラウンド（QRR）フレームワークを導入する。特定のグラフにおいては、Goemans-Williamsonなどの古典的アルゴリズムと同等の性能を達成し、無限大の深さにおける最適性能保証を維持する。量子リソースの追加コストなしに、標準QAOAに即座に統合可能な量子的強化を提供する。

ABSTRACT

We introduce a relax-and-round approach embedding the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) with $p\geq 1$ layers. We show for many problems, including Sherrington-Kirkpatrick spin glasses, that at $p=1$, it is as accurate as its classical counterpart, and maintains the infinite-depth optimal performance guarantee of the QAOA. Employing a different rounding scheme, we prove the method shares the performance of the Goemans-Williamson algorithm for the maximum cut problem on certain graphs. We pave the way for an overarching quantum relax-and-round framework with performance on par with some of the best classical algorithms.

研究の動機と目的

• 組合せ最適化の近似比を向上させる量子強化リラックス・アンド・ラウンドフレームワークを開発し、量子回路の深さを増加させることなく実現すること。
• 特定のグラフクラスにおいて、深さ $p=1$ のQAOAが、Goemans-Williamsonのような古典的リラックス・アンド・ラウンドアルゴリズムと同等の性能を達成できることを示すこと。
• QRR手法が、低深さでもQAOAの無限大深さにおける最適性能保証を維持することを証明すること。
• 標準QAOA出力に追加の量子データを必要とせず、既存の量子最適化ワークフローに即座に統合可能な、プラグアンドプレイな統合を可能とすること。

提案手法

• 深さ $p \geq 1$ におけるQAOA実行中に計算される2点相関行列 $\mathsf{Z}^{(p)}$ を、元の問題に対する量子強化リラックスとして用いる。
• リラックス・アンド・ラウンド手順を適用し、ラウンド段階で古典的隣接行列 $\mathsf{W}$ の代わりに相関行列 $\mathsf{Z}^{(p)}$ を使用する。
• ラウンドスキームは、$\mathsf{Z}^{(p)}$ で定義される連続的リラックス問題を解き、その後に確率的ラウンドによりバイナリ解を生成する。
• Goemans-Williamsonとの比較のため、同じ固有ベクトルに基づくラウンド戦略を用い、$\mathsf{Z}^{(p)}$ の最大固有ベクトルが $\mathsf{W}$ のそれと一致する場合に等価性を示す。
• このアプローチは、$p \to \infty$ の極限で最適解に収束することが証明されており、QAOAの理論的収束保証を維持する。
• 頂点推移的グラフにおける対称性を活用し、最適補正ベクトル $\boldsymbol{u}_{\textrm{opt}} = \boldsymbol{0}$ であることを示し、特定の条件下で古典的手法と同等の性能を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深さ $p=1$ のQAOAは、特定のグラフにおいて、Goemans-Williamsonのような古典的リラックス・アンド・ラウンドアルゴリズムと同等の性能を達成できるか？
• RQ2 低回路深さで動作するにもかかわらず、量子リラックス・アンド・ラウンドフレームワークは、QAOAの無限大深さにおける最適性能保証を維持できるか？
• RQ3 追加の量子リソースコストなしに、量子相関行列 $\mathsf{Z}^{(p)}$ が古典的隣接行列 $\mathsf{W}$ を置き換えるのに十分か？
• RQ4 どのようなグラフの対称性の下で、QRR手法は古典的リラックス・アンド・ラウンド手法と同等の性能を維持するか？

主な発見

• 深さ $p=1$ において、QRR手法は、Sherrington-Kirkpatrickスピンガラスを含む多くの問題について、古典的リラックス・アンド・ラウンド手法と同等の近似比を達成する。
• 特定のグラフにおけるMax-Cut問題に関して、QRR手法は、近似比 $\alpha \simeq 0.878$ を保証するGoemans-Williamsonアルゴリズムと同等の性能を達成する。
• $p \to \infty$ の極限で $\alpha \to 1$ に収束し、QAOAの理論的性能保証を維持する。
• 数値実験では、有限の $T$ においてQRRが量子断熱法を一貫して上回り、その優位性は $\approx T^{-3/2}$ のスケーリングを示す。
• リングや完全グラフなどの頂点推移的グラフでは、$\mathsf{Z}^{(p)}$ の最大固有ベクトルが $\mathsf{W}$ のそれと一致し、$\boldsymbol{u}_{\textrm{opt}} = \boldsymbol{0}$ の場合に古典的手法と同等の性能を保証する。
• フレームワークは、標準QAOA出力に追加の量子データを必要とせず、近位量子最適化に即座に統合可能なプラグアンドプレイな強化を提供する。