[論文レビュー] Extending weakly polynomial functions from high rank varieties

David Kazhdan, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、許容的体上の高ランクな完全交差代数的多様体において、次数 ≤ a である弱多項式関数が、同じ次数のグローバル多項式に拡張可能であることを確立する。証明は、高ランク多項式準同型のファイバーに関する新規定理に依拠し、多項式空間への引き戻し写像の上への性質を示す。この性質は、大特異性の有限体および特異性 > d または 0 の代数的に閉じた体で成り立つ。

ABSTRACT

Let $k$ be a field, $V$ a $k$-vector space and $X$ be a subset of $V $. A function $f:X o k$ is weakly polynomial of degree $\leq a$, if the restriction of $f$ on any affine subspace $L\subset X$ is a polynomial of degree $\leq a$. In this paper we consider the case when $X= \mathbb X (k)$ where $\mathbb X$ is a complete intersection of bounded codimension defined by a high rank polynomials of degrees $d, char(k)=0$ or $char (k)>d$ and either $k$ is algebraically closed, or $k=\mathbb F _q,q>ad$. We show that under these assumptions any $k$-valued weakly polynomial function of degree $ \leq a$ on $X$ is a restriction of a polynomial of degree $\leq a$ on $V$. Our proof is based on Theorem 1.11 on fibers of polynomial morphisms $P:\mathbb F _q^n o \mathbb F _q^m$ of high rank. This result is of an independent interest. For example it immediately implies a strengthening of the result of [4].

研究の動機と目的

• 代数的多様体上の弱多項式関数が有界次数のグローバル多項式に拡張可能となる条件を特定すること。
• 次数 a ≥ d の場合に生じる拡張の一意性の欠如問題を、高ランク多様体に注目することで解決すること。
• 高ランク多項式によって定義される完全交差多様体が、性質 $\star^k_a$ を満たすことを確立すること。
• 高ランク多項式に関連する引き戻し写像 $\kappa_P$ の上への性質に関する基礎的結果を証明すること。この結果は、有限体および代数的に閉じた体で有効である。
• ランクに基づく基準を用いて、弱多項式関数の理論を高codimensionの完全交差多様体へ拡張すること。

提案手法

• 弱多項式関数の概念を導入：任意のアフィン部分空間への制限が次数 ≤ a の多項式である関数。
• $\star^k_a$ 性質を定義：$X = \mathbb{X}(k)$ 上の次数 ≤ a の弱多項式関数が、$V$ 上のグローバル多項式に次数 ≤ a で拡張可能であること。
• 多項式 $P$ の代数的ランク $r_k(P)$ を複雑さの尺度として用い、高ランクは構造的豊かさを示す。
• 定理 1.11 の証明：特異性 > d または代数的に閉じた体で特異性 0 または > d である有限体において、$P$ が十分に高いランクを持つとき、引き戻し写像 $\kappa_P: \text{Hom}_{af}(W,V) \to \mathcal{P}_d(W)$ は上への写像である。
• この上への性質を用いて、$\mathbb{X}_n \subset \mathbb{V}_n$ という高ランク超曲面の明示的族を構成し、$\star_a^k$ を満たすことを示す。
• モデル理論的およびワイエル風の等分布性の議論を用いて、有限体から代数的に閉じた体への結果の拡張を、超積および次元論を介して行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 $X = \mathbb{X}(k)$ 上の次数 ≤ a の弱多項式関数が、$V$ 上のグローバル多項式に次数 ≤ a で拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 定義多項式 $P$ の代数的ランク $r_k(P)$ は、性質 $\star^k_a$ にどのように影響を与えるか？
• RQ3 有限体および代数的に閉じた体において、高ランク多項式に対して引き戻し写像 $\kappa_P$ の上への性質が保証されるか？
• RQ4 有界codimensionおよび高ランクの定義多項式を持つ完全交差多様体に対し、性質 $\star^k_a$ を確立できるか？
• RQ5 体の特異性および単位根の存在が、弱多項式関数の拡張を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 許容的体 $k$（$|k| > ad$、$2a$ 以上の位数の単位根、$\text{char}(k) > d$ または 0）に対して、任意の高ランク完全交差多様体 $\mathbb{X} \subset \mathbb{V}$ 上の次数 ≤ a の弱多項式関数は、$\mathbb{V}$ 上のグローバル多項式に次数 ≤ a で拡張可能である。
• 定理 1.11 により、特異性 > d の有限体および特異性 0 または > d の代数的に閉じた体は、性質 $c_\infty$ を満たし、高ランク多項式に対して引き戻し写像 $\kappa_P$ の上への性質が保証される。
• $\mathbb{V}_n = (\mathbb{A}^d)^n$ 上で $P_n(w_1,\dots,w_n) = \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^d x_j^j$ で定義される族 $\mathbb{X}_n \subset \mathbb{V}_n$ は、$r(P_n) \geq n/d$ のランクを持ち、許容的 $k$ に対して $\star_a^k$ を満たす。
• 高ランク $P$ に対して、$\kappa_P^{-1}(Q)$ のファイバー次元は $\dim(\text{Hom}_{af}(W,V)) - \dim(\mathcal{P}_d(W))$ に等しく、$\kappa_P$ が一般に滑らかでかつ全射的（dominant）であることを示唆する。
• 大特異性の有限体における $\kappa_P$ の上への性質は、モデル理論的コンパクト性および超積に関する Łoś の定理を用いて、代数的に閉じた体へ拡張される。
• 本結果は、[4] の先行研究を強化し、定義多項式の代数的ランクに基づく弱多項式関数の拡張に関する一様基準を提供する。