[論文レビュー] Extensions of locally compact quantum groups and the bicrossed product construction

Stefaan Vaes, Leonid Vaînerman|ArXiv.org|Jan 16, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトな量子群の理論を拡張し、一致する量子群のペアからコサイクル双交叉積の構成を導入することで、クリフト拡大とこれらのコサイクル双交叉積の間の一対一対応を確立する。この構成により、新しい局所コンパクト量子群の例が得られ、可測な作用とコサイクルを用いて、古典的群拡張理論を量子設定に一般化する。

ABSTRACT

In the framework of locally compact quantum groups, we study cocycle actions. We develop the cocycle bicrossed product construction, starting from a matched pair of locally compact quantum groups. We define exact sequences and establish a one-to-one correspondence between cocycle bicrossed products and cleft extensions. In this way, we obtain new examples of locally compact quantum groups.

研究の動機と目的

• 有限群のG.I. カックの拡張理論を局所コンパクト量子群の枠組みに一般化すること。
• 局所コンパクト量子群の一致するペアと適合する2次コサイクルを用いたコサイクル双交叉積の構成を開発すること。
• 局所コンパクト量子群のクリフト拡大とコサイクル双交叉積の間の一対一対応を確立すること。
• この双交叉積機構を用いて、局所コンパクト量子群の新しい例を体系的に構成すること。
• 得られた量子群における不変測度、基本的ユニタリ、双対性の構造を分析すること。

提案手法

• von Neumann代数上の局所コンパクト量子群のコサイクル作用を定義し、ねじれられた群作用と通常の作用を一般化する。
• 作用素代数的コサイクル交叉積を、ホップ代数的コサイクル交叉積の作用素代数版として構成する。
• 適合する作用と2次コサイクルを含む、局所コンパクト量子群のコサイクル一致ペアの概念を導入する。
• 2つの量子群のテンソル積上に新しい作用素代数的構造としてコサイクル双交叉積代数を構築する。
• 不変測度、基本的ユニタリ、双対量子群を構成することで、コサイクル双交叉積が自身で局所コンパクト量子群であることを証明する。
• 作用素空間理論と双対測度構成を用いて、ユニタリ実装と双対性の性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G.I. カックの古典的群拡張理論を、局所コンパクト量子群の設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 2つの局所コンパクト量子群のコサイクル双交叉積が、適切に定義された局所コンパクト量子群となるための条件は何か？
• RQ3 局所コンパクト量子群の文脈において、クリフト拡大とコサイクル双交叉積の正確な関係は何か？
• RQ4 コサイクル双交叉積構成における不変測度、基本的ユニタリ、双対性構造は、どのように振る舞うか？
• RQ5 どのような条件下で、得られるコサイクル双交叉積がコンパクトまたは離散的になるか？

主な発見

• 局所コンパクト量子群のクリフト拡大と、一致するペアから生じるコサイクル双交叉積との間の一対一対応が確立された。
• コサイクル双交叉積構成により、非自明な非可換かつ非コアソシエーション的な新しい局所コンパクト量子群の例が得られた。
• 特定の例において $ rac{4n}{ au} $（$ n eq 0 $）の場合、$ (M_n, abla_n) $ の無限小ホップ代数は非自明な関係 $[X,Y] = 2Y - irac{4n}{ au}A$、$[X,A] = 2A$、$[Y,A] = A^2$ を持つ。
• $ ( ilde{M}_n, ilde{ abla}_n) $ の無限小双対ホップ代数は、生成子 $ A, ext{log} A, B, X $ を持ち、$[A,X] = B $、$[ ext{log} A, X] = A^{-1}B $、および $ ilde{ abla}_n(X) = X igotimes A^{-2} + 1 igotimes X + irac{4n}{ au} A^{-1}B igotimes A^{-2} ext{log} A $ を満たす。
• コサイクルパrameter $ rac{4n}{ au} $（$ n eq 0 $、$ n eq 0 $）に対してのみ、この構成は作用素代数レベルで適切に定義され、離散的量子化条件を示している。
• 左ハール測度 $ ilde{ abla}_n $ とモジュラリティ共役作用素 $ ilde{J}_n $ は $ n $ に依存しないが、モジュラリティ作用素 $ abla_n $ と反対作用素 $ ilde{R}_n $ は $ n $ に依存しており、非自明な変形が示されている。