[論文レビュー] Extremal N=(2,2) 2D Conformal Field Theories and Constraints of Modularity

Matthias R. Gaberdiel, Sergei Gukov+3 more|ArXiv.org|May 27, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、楕円的生成関数のモジュラー性を用いて、極値 N=(2,2) 2次元超共形場理論（SCFT）を調査し、有限個のこのような理論しか存在しえないことを示し、極値の楕円的生成関数が存在しうる9つの中心電荷 c = 6, 12, 18, 24, 30, 42, 48, 66, 78 を同定した。モジュラー制約はスペクトルを強く制限し、純粋な AdS₃ スーパーグラビティ双対と矛盾をきたす可能性があり、極値 SCFT はこれらの値を超えては非常に制約が激しく、あるいは存在しない可能性がある。

ABSTRACT

We explore the constraints on the spectrum of primary fields implied by modularity of the elliptic genus of N=(2,2) 2D CFT's. We show that such constraints have nontrivial implications for the existence of "extremal" N=(2,2) conformal field theories. Applications to AdS3 supergravity and flux compactifications are addressed.

研究の動機と目的

• 楕円的生成関数のモジュラー不変性を用いて、極値 N=(2,2) 2次元超共形場理論の存在を調査すること。
• このような極値理論が、N=2 スーパーシンメトリーを有する純粋な AdS₃ スーパーグラビティのホログラフィック双対として機能しうるかを特定すること。
• 特に NSNS セクターにおいて、モジュラー制約下での一次元場のスケーリングスペクトルを分析すること。
• 極値条件をわずかに緩和しつつも、モジュラー不変性と一貫した楕円的生成関数を保つ「ほぼ極値」理論の可能性を検討すること。
• 極値 N=(2,2) SCFT の有限性を解析的および数値的根拠で示し、それらの可能な中心電荷を制約すること。

提案手法

• N=(2,2) SCFT の楕円的生成関数は、弱いジャコビ形式とみなされ、そのモジュラー不変性が一次元場のスケーリングスペクトルに強い制約を課す。
• 著者らは、モジュラー形式のフーリエ係数のラデマッハ展開と漸近的解析を用いて、チャーラル一次元状態のコンフォーマル重み h の上限を導出する。
• 極値 N=(2,2) SCFT は、モジュラー不変性と真空キャラクターに整合する最小のスペクトルを持つ理論として定義される。
• 楕円的生成関数係数の数値的解析を用いて候補となる極値形式を同定し、その後で解析的証明による有限性を示す。
• η⁻³ などのモジュラー形式の離散微分を計算し、低 h を持つ状態の存在を制約するための漸近的成長を分析する。
• 特に SL(2,Z) のモジュラー群における S 変換と T 変換の性質を用いて、楕円的生成関数のモジュラー変換性を分析し、スペクトル制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空キャラクターとモジュラー不変性に整合する最小のスペクトルを持つとされる、どの N=(2,2) 超共形場理論が極値条件を満たすか？
• RQ2 極値 N=(2,2) SCFT は中心電荷 c が任意に取りうるか、それとも特定の値に制限されるか？
• RQ3 このような極値理論における右巻きのチャーラル状態、左 N=2 一次元状態の最小コンフォーマル重み h は何か？また、c に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 モジュラー制約は、N=2 スーパーシンメトリーを有する純粋な AdS₃ スーパーグラビティで予想されるスペクトルとどの程度矛盾するか？
• RQ5 極値条件をわずかに緩和しつつも、モジュラー不変性と一貫した楕円的生成関数を保つ「ほぼ極値」理論を構成できるか？

主な発見

• モジュラー不変性と極値条件の相乗作用により、極値 N=(2,2) SCFT は有限個しか存在しえない。
• 極値の楕円的生成関数は、c = 6, 12, 18, 24, 30, 42, 48, 66, 78 の9つの中心電荷に限り存在しうる。
• c が大きいとき、モジュラーな楕円的生成関数を持つ任意の N=(2,2) SCFT は、コンフォーマル重み h < c/24 + 3ℓ²/(2c) - 1/8 + O(c⁻¹/²) を満たす右巻きのチャーラル状態を含むとされ、すべてのこのような理論に成り立つと予想されている。
• c が指定された9つの値以外では、極値の楕円的生成関数が存在しないという強い数値的証拠が得られた。
• h ≤ c/24 のすべての状態に対して、極値 N=(2,2) SCFT のスペクトルと整合する楕円的生成関数を構成でき、真空キャラクターと一貫している。
• 結果から、N=2 スーパーシンメトリーを有する純粋な AdS₃ スーパーグラビティは、一貫したホログラフィック CFT 双対を持たないか、あるいは双対は極値ではなくほぼ極値でなければならない可能性がある。