[論文レビュー] Extremes of Gaussian Random Fields with maximum variance attained over smooth curves

Peng Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな曲線上で最大分散を達成する2次元中心化ガウス確率場の上限確率の正確な漸近的性質を導出し、これまでの単一の最大分散点に関する先行研究を拡張している。一般化されたピテルバール・ピクアンズ理論を用いて、一般化されたピクアンズ定数およびピテルバール定数を含む正確な尾部減衰率を確立し、自己相関を持つ分数 Browm 動きの加重平均の極値への応用を含む。

ABSTRACT

Let $X(s,t), (s,t)\in E$, with $E\subset \mathbb{R}^2$ a compact set, be a centered two dimensional Gaussian random field with continuous trajectories and variance function $σ(s,t)$. Denote by $\mathcal{L}=\{(s,t): σ(s,t)=\max_{(s',t')\in E}σ(s',t')\}$. In this contribution, we derive the exact asymptotics of $\mathbb{P}\left(\sup_{(s,t)\in E}X(s,t)>u ight)$, as $u o\infty$, under condition that $\mathcal{L}$ is a smooth curve. We illustrate our findings by an application concerned with extremes of the aggregation of two independent fractional Brownian motions.

研究の動機と目的

• 既存のガウス確率場の漸近的理論を、最大分散点が一意でない場合にまで拡張すること。
• 分散が単一の点ではなく滑らかな曲線上で最大値を取るガウス場の上限の尾部挙動を分析すること。
• ピテルバール・ピクアンズフレームワークを、滑らかな構造を持つ非一意の最大分散集合へ一般化すること。
• 相関関数および分散関数の一般的正則変動仮定の下で、上限の尾部確率に対する正確な漸近的表現を提供すること。
• 理論的結果を、長-range 依存性を示す確率過程やシェップ統計で生じる加重分数 Browm 動きの極値に応用すること。

提案手法

• 本稿は、分散関数の最大値が滑らかな曲線上に複数存在する場合に対処するため、ピテルバール・ピクアンズ補題の一般化を採用している。
• 局所的に最大分散曲線の周辺におけるガウス場の挙動を、正則に変動する相関構造および分散構造を有する2変量ガウス過程でモデル化している。
• この手法は、分数 Browm 動きとその上限分布に基づいて定義される一般化されたピクアンズ定数およびピテルバール定数の使用に依存している。
• 漸近的解析は、最大分散曲線の縮小近傍における尾部確率の一様展開を用いて行われ、逆ハザード関数に基づく正規化が用いられている。
• 主な技術的道具は、スケーリング下でのコンパクト集合上での上限確率の尾部の一様収束性を保証する結果（補題6.1）である。
• 導出には、関連する分数 Browm 動きのハースト指数と最大分散曲線の幾何的構造との間の相互作用を精細に分析することが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散が単一の点ではなく滑らかな曲線上で最大値を取るガウス確率場の上限の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 一般化されたピクアンズ定数およびピテルバール定数は、このような場の尾部漸近においてどのように現れるか？
• RQ3 ハースト指数および局所的相関構造が尾部確率の減衰率を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 最大分散集合の一意性の欠如が、一意最大の場合と比較して漸近的スケーリングに与える影響は何か？
• RQ5 導出された漸近的性質は、2つの独立な分数 Browm 動きの加重平均のような実際の確率過程に応用可能か？

主な発見

• ガウス場の上限の尾部確率は、$ u \to \infty $ のとき、漸近的に $ \mathbb{P}\left\{\sup_{(s,t)\in E}X(s,t)>u\right\} \sim C \cdot u^{2/\alpha_1} \Psi(u) $ を満たす。ここで $ \Psi(u) $ は標準正規尾部関数である。
• 定数 $ C $ は、ハースト指数 $ \alpha_1, \alpha_2 \in (0,2] $ を含む一般化されたピクアンズ定数およびピテルバール定数の明示的表現で与えられ、$ \alpha_1 $ が減衰率を支配する。
• 特に $ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha $ の場合、漸近的定数は $ \frac{2^{3-2/\alpha}}{\alpha} (\mathcal{H}_\alpha)^2 \int_0^1 (1 - t^\alpha)^{1/\alpha - 1} dt $ となり、ピクアンズ定数 $ \mathcal{H}_\alpha $ の二乗に依存する。
• $ \alpha_1 = \alpha_2 = 1 $ の場合、漸近的定数は $ 2 \widehat{\mathcal{H}}_1^{1,-1} $ に簡略化され、修正されたピテルバール定数を含む。
• $ \alpha_1 < 1 $ の場合、漸近的挙動は項 $ u^{4/\alpha_1 - 2} \Psi(u) $ に支配され、$ \alpha_1 > 1 $ の場合よりも遅い減衰を示す。
• 結果は、$ X(s+t) - X(s) $ の上限に応用され、シェップ型統計の尾部漸近が、提示された一般枠組みから導出可能であることが示された。