[論文レビュー] Uniform tail approximation of homogenous functionals of Gaussian fields

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ガウス型確率場の同次的汎関数の尾確率に対する漸近的近似を導出するための均一な二重和法を提案する。これは、古典的なピカーンズ型の結果を非定常的かつパラメータ依存する設定へと拡張するものである。主な貢献は、相関構造およびパrameter依存性に関するやや弱い正則性条件の下で、u→∞ のとき、汎関数 Γ(ξᵤ,τᵤ) の尾確率が、標準正規尾 Ψ(gᵤ,τᵤ) の定数倍に均一に収束することを示す均一極限結果である。

ABSTRACT

Let $X(t),t\in R^d$ be a centered Gaussian random field with continuous trajectories and set $ξ_u(t)= X(f(u)t),t\in R^d$ with $f$ some positive function. Classical results establish the tail asymptotics of $P\{ Γ(ξ_u) > u\}$ as $u o \infty$ with $Γ(ξ_u)= \sup_{t \in [0,T ]^d} ξ_u(t),T>0$ by requiring that $f(u) o 0$ with speed controlled by the local behaviour of the correlation function of $X$. Recent research shows that for applications more general continuous functionals than supremum should be considered and the Gaussian field can depend also on some additional parameter $τ_u \in K$, say $ξ_{u,τ_u}(t),t\in R^d$. In this contribution we derive uniform approximations of $P\{ Γ(ξ_{u,τ_u})> u\}$ with respect to $τ_u$ in some index set $K_u$, as $u o\infty$. Our main result have important theoretical implications; two applications are already included in [10,11]. In this paper we present three additional ones, namely i) we derive uniform upper bounds for the probability of double-maxima, ii) we extend Piterbarg-Prisyazhnyuk theorem to some large classes of homogeneous functionals of centered Gaussian fields $ξ_{u}$, and iii) we show the finiteness of generalized Piterbarg constants.

研究の動機と目的

• ガウス型確率場の上限汎関数に対する古典的な尾漸近の結果を、上限を超えるより一般的な同次的汎関数へと拡張すること。
• u→∞ のとき、パラメータ依存型ガウス型確率場 ξᵤ,τᵤ の尾確率に対する均一近似を、τᵤ∈Kᵤ に関して確立すること。
• 中心化されたガウス型確率場の広範なクラスの同次的汎関数へとピトルバール＝プリサジャヌクの定理を一般化すること。
• 相関関数およびパラメータ空間に関する弱い正則性条件の下で、一般化されたピトルバール定数の有限性を示すこと。
• 非定常的かつ非i.i.d.な設定への極値解析の拡張に不可欠な、二重最大値確率に対する均一な上界を提供すること。

提案手法

• パラメータ依存型ガウス型確率場 ξᵤ,τᵤ（τᵤ∈Kᵤ）に対して、古典的なスレピアンおよび二重和技法を拡張する均一二重和法を提案する。
• 均一漸近的同等性を導出：limᵤ→∞ supₜᵤ∈Kᵤ |ℙ{Γ(ξᵤ,τᵤ)>gᵤ,τᵤ}/Ψ(gᵤ,τᵤ) − C| = 0、ここで C は正の定数である。
• 閾値依存型ガウス過程の尾漸近の均一版を用い、スレピアンの不等式に代えて均一な上限を導入する。
• 不連続な区間における二重上限確率の均一収縮を適用し、二重和展開における誤差項を制御する。
• 相関関数の連続性および局所的挙動に依存し、増分の分散が一様に収束する条件を確立する。
• コンパクト性の議論および均一等連続性を用いて、尾確率がパrameter τᵤ に与える依存性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ依存設定において、ガウス型確率場の同次的汎関数の尾漸近を、上限を超えてより一般的な汎関数へとどのように拡張できるか？
• RQ2 u→∞ のとき、パラメータ集合 Kᵤ 全体にわたる尾確率の均一収束を保証する条件は何か？
• RQ3 ピトルバール＝プリサジャヌクの定理を、パラメータ化された依存性を有する非定常的かつ非i.i.d.なガウス型確率場へと一般化できるか？
• RQ4 関数的表現によって定義される一般化されたピトルバール定数が有限であるための条件は何か？
• RQ5 非定常的ガウス型確率場における二重最大値確率に対して、どのような均一な上界を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、limᵤ→∞ supₜᵤ∈Kᵤ |ℙ{Γ(ξᵤ,τᵤ)>gᵤ,τᵤ}/Ψ(gᵤ,τᵤ) − C| = 0 という均一漸近的同等性を確立した。ここで C>0 は、局所的相関構造に依存する定数である。
• 均一二重和法により、古典的なピカーンズ型の結果が非定常的かつパラメータ依存型ガウス型確率場へと拡張可能であることが示された。
• 相関関数およびパラメータ空間に関するやや弱い正則性条件の下で、一般化されたピトルバール定数が有限であることが示された。
• 二重最大値確率に対する均一な上界が導出され、これは二重和展開における誤差を制御するために不可欠である。
• 条件 C2 および (12) もしくは (16) の下で、増分の分散の収束の均一性と、極限分散関数の均一連続性の間の同等性が証明された。
• 本稿は、インフ・サップや二重最大値問題を含む、ガウス型確率場の複雑な汎関数への極値解析の拡張に向けた厳密な基礎を提供した。