[論文レビュー] Facial Reduction and Partial Polyhedrality

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 29被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、双対非負性の錐 Dn に対して、古典的な顔面削減の O(n²) の境界を大幅に改善した、n 回の反復で収束するという、worst-case の境界を持つ FRA-Poly と呼ばれる顔面削減アルゴリズムを導入する。この手法は、多面体の顔を別個に取り扱い、部分的多面体性を活用することで、収束に必要な反復回数を著しく削減する。さらに、Gordan-Stiemke の定理を一般化し、特異度や弱不可能性部分空間に関する境界を改善する。

ABSTRACT

We present FRA-Poly, a facial reduction algorithm (FRA) for conic linear programs that is sensitive to the presence of polyhedral faces in the cone. The main goals of FRA and FRA-Poly are the same, i.e., finding the minimal face containing the feasible region and detecting infeasibility, but FRA-Poly treats polyhedral constraints separately. This idea enables us to reduce the number of iterations drastically when there are many linear inequality constraints. The worst case number of iterations for FRA-poly is written in the terms of a "distance to polyhedrality" quantity and provides better bounds than FRA under mild conditions. In particular, in the case of the doubly nonnegative cone, FRA-Poly gives a worst case bound of $n$ whereas the classical FRA is $\mathcal{O}(n^2)$. Of possible independent interest, we prove a variant of Gordan-Stiemke's Theorem and a proper separation theorem that takes into account partial polyhedrality. We provide a discussion on the optimal facial reduction strategy and an instance that forces FRAs to perform many steps. We also present a few applications. In particular, we will use FRA-poly to improve the bounds recently obtained by Liu and Pataki on the dimension of certain affine subspaces which appear in weakly infeasible problems.

研究の動機と目的

• 多面体の顔が存在する場合に、顔面削減の反復回数を削減すること。
• 多面体制約を別個に取り扱うことで、最悪ケースの複雑度を改善する新しい顔面削減アルゴリズム FRA-Poly を開発すること。
• 特に Dn 錐に対して、錐型線形計画問題の特異度に関する tighter な境界を提供すること。
• Gordan-Stiemke の定理のような古典的定理を、部分的多面体性を考慮した形で一般化すること。
• Liu より Pataki が研究した弱不可能性問題に関連する部分空間の次元に関する既存の境界を改善すること。

提案手法

• FRA-Poly は二段階のプロセスで動作する：段階1では、多面体ブロックを含む顔に到達するまで標準的な顔面削減を実行する。段階2では、1ステップで最小顔に直接ジャンプする。
• 本手法は、多面体性への距離 ℓpoly(K) と呼ばれる新たな量を用いる。これは、多面体の顔から始まる、真に上昇する非空顔の鎖の最大長を測定する。
• 積錐 K = K₁ × ⋯ × Kᵣ に対して、FRA-Poly は 1 + Σᵢ ℓpoly(Kᵢ) ステップ以内に終了する。これは、少なくとも2つの Ki が部分空間でない場合、古典的 FRA よりも厳密に小さい。
• 本手法は一般化された適切な分離定理（定理4）と、部分的多面体性を考慮した Gordan-Stiemke の定理の変種（定理5）に依存する。
• 直接積の錐の構造を活用し、各 Fⱼᵢ が多面体的であるか、または最小顔の j 番目のブロックと一致する場合、Fᵢ = F₁ᵢ × ⋯ × Fᵣᵢ は最小顔にまで削減可能である。
• 本手法は、Dn = Sⁿ₊ ∩ Nⁿ である二重非負性の錐に適用され、特異度が n 未満であることを証明する。これは古典的境界の O(n²) よりも優れている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 顔面削減を、多面体制約を他の錐制約と一様に扱う代わりに、別個に処理することで、加速可能か？
• RQ2 部分的多面体性が存在する場合、錐型線形計画問題の顔面削減ステップの最悪ケース数は何か？ また、古典的顔面削減と比較するとどうなるか？
• RQ3 多面体性への距離 ℓpoly(K) は、積錐における顔面削減の複雑度をどのように定量化するか？
• RQ4 FRA-Poly は、特に二重非負性の錐 Dn に対して、錐型線形計画問題の特異度に関する tighter な境界を提供可能か？
• RQ5 FRA-Poly は、弱不可能性問題に関連する部分空間の次元に関する既存の境界をどの程度改善できるか？

主な発見

• FRA-Poly は、二重非負性の錐 Dn に対して、顔面削減の最悪ケースステップ数を O(n²) から n にまで削減し、古典的顔面削減よりも顕著に改善する。
• 積錐 K = K₁ × ⋯ × Kᵣ に対して、FRA-Poly は 1 + Σᵢ ℓpoly(Kᵢ) ステップ以内に終了する。これは、少なくとも2つの Ki が部分空間でない場合、古典的 FRA よりも厳密に小さい。
• 本稿では、閉凸錐と多面体錐の直積からなる錐に対して、一般化された Gordan-Stiemke の定理を証明し、古典的双対性結果を拡張する。
• FRA-Poly は、多面体ブロックを含む顔に到達した時点で、最小顔でなくても、1ステップで強い双対性を回復可能である。
• Dn 上の任意の錐型線形計画問題の特異度は n 未満である。これは古典的境界 n(n+1)/2 よりも優れている。
• 本アルゴリズムは、Liu や Pataki が最近研究した弱不可能性問題に関連するアフィン部分空間の次元に関する境界を改善する。