[論文レビュー] On Positive Duality Gaps in Semidefinite Programming

Gábor Pataki|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、基本的な行変換とガウスの消去法を用いて、正のデュアルギャップを示す2変数半定値計画問題（SDP）を完全に特徴付け、それらをギャップが明確に現れる標準形に変換する。さらに、同様の構造的メカニズムが高次元SDPにおける正のギャップを説明しており、このようなギャップに達する最大の特異度が同定される。

ABSTRACT

We present a novel analysis of semidefinite programs (SDPs) with positive duality gaps, i.e. different optimal values in the primal and dual problems. These SDPs are extremely pathological, often unsolvable, and also serve as models of more general pathological convex programs. However, despite their allure, they are not well understood even when they have just two variables. We first completely characterize two variable SDPs with positive gaps; in particular, we transform them into a standard form that makes the positive gap trivial to recognize. The transformation is very simple, as it mostly uses elementary row operations coming from Gaussian elimination. We next show that the two variable case sheds light on larger SDPs with positive gaps: we present SDPs in any dimension in which the positive gap is caused by the same structure as in the two variable case. We analyze a fundamental parameter, the {\em singularity degree} of the duals of our SDPs, and show that it is the largest that can result in a positive gap. We finally generate a library of difficult SDPs with positive gaps (some of these SDPs have only two variables) and present a computational study.

研究の動機と目的

• 2つの変数しかない場合の半定値計画問題（SDP）における正のデュアルギャップを完全に特徴付けること。
• ガウスの消去法に類似した基本的な行変換を用いた単純な変換を開発し、正のデュアルギャップを容易に検出可能にする形にすること。
• 2変数SDPにおける構造が、高次元SDPにおける正のギャップを説明する共通の根本的メカニズムを特定すること。
• このようなSDPにおけるデュアル問題の特異度を分析し、正のギャップに対して理論的に達成可能な最大値に達することを証明すること。
• 正のギャップを有する挑戦的なSDPのライブラリを構築し、計算的検証を実施して結果の妥当性を確認すること。

提案手法

• 基本的な行変換と行列の合同変換のみを用いて、2変数SDPを標準形に変換する。
• 顔面削減（facial reduction）と厳密顔面削減列（strict facial reduction sequences）の概念を用いて、プライマルおよびデュアルの錐構造を分析する。
• デュアル問題の特異度を、病理的SDPを分類し、正のギャップに対して達成可能な最大度を特定するための主要な不変量として用いる。
• 正規化された顔面削減列を適用してSDP構造を単純化しつつ、デュアルギャップを保存する。
• 制約行列の線形結合とデュアルの妥当性条件を用いて、正のデュアルギャップの証明を導出する。
• 計算的検証のため、最小の2変数インスタンスを含む、正のギャップを有する困難なSDPのライブラリを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のデュアルギャップを示す2変数SDPを特徴付ける構造的性質は何か？
• RQ2 このようなSDPは、基本的変換によって、ギャップが明確に識別できる標準形に変換可能か？
• RQ3 2変数SDPにおける正のギャップを引き起こすメカニズムは、高次元SDPにおけるギャップを説明するのにも同様に適用可能か？
• RQ4 正のデュアルギャップを有するSDPにおけるデュアル問題の最大特異度は何か？
• RQ5 計算的テストと検証のため、体系的な正のギャップを有する挑戦的なSDPのライブラリを構築可能か？

主な発見

• すべての正のデュアルギャップを示す2変数SDPは、基本的な行変換によって、ギャップが自明に識別可能な標準形に変換可能である。
• このようなSDPにおける正のデュアルギャップは、変換のもとで保存される特定の制約行列の構造的配置に起因する。
• これらのSDPにおけるデュアル問題の特異度は、正のギャップに対して理論的に達成可能な最大値に達しており、病理的SDPの構造における根本的な限界を示している。
• 2変数SDPにおける正のギャップを引き起こす同じ構造的メカニズムが、高次元SDPにおけるギャップを説明する共通の根拠を提供する。
• 計算的検証により、構築された正のギャップを有するSDPのライブラリは、Mosekのような標準SDPソルバーが誤ってプライマル不可能性を報告するような、困難なインスタンスを含むことが確認された。
• 本論文は、顔面削減と拡張デュアルがこのような病理的構造を是正可能であることを確立しているが、理論的には成立するが、実用的なソルバーは依然として、固有の悪条件性とギャップ構造のため、これらのインスタンスで失敗する。