[論文レビュー] Solving SDP Completely with an Interior Point Oracle

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Numerical Methods and Algorithms参考文献 58被引用数 11

ひとこと要約

この論文では、強い可解性を持つ原始的双対SDPペアのみを解けるオракルを用いて、任意の半定値計画問題（SDP）を完全に解く手法を提示する。元の問題に対して二重の顔削減を適用し（まず元の問題に、次に正則化問題の双対に）、両側で強い可解性を保証することで、弱不可能性や達成されない最適値を含むすべての不適切なケースに対してもオーケストラルが機能する。主な結果は、任意のSDPがO(n)回のオーケストラル呼び出しで完全に解けることである。

ABSTRACT

We suppose the existence of an oracle which solves any semidefinite programming (SDP) problem satisfying Slater's condition simultaneously at its primal and dual sides. We note that such an oracle might not be able to directly solve general SDPs even after certain regularization schemes are applied. In this work we fill this gap and show how to use such an oracle to "completely solve" an arbitrary SDP. Completely solving an SDP, includes, for example, distinguishing between weak/strong feasibility/infeasibility and detecting when the optimal value is attained or not. We will employ several tools, including a variant of facial reduction where all auxiliary problems are ensured to satisfy Slater's condition at all sides. Our main technical innovation, however, is an analysis of double facial reduction, which is the process of applying facial reduction twice: first to the original problem and then once more to the dual of the regularized problem obtained during the first run. Although our discussion is focused on semidefinite programming, the majority of the results are proved for general convex cones

研究の動機と目的

• 既存のSDP手法が弱不可能性や達成されない最適値といった不適切なケースを処理できないという制限に対処すること。
• 任意のSDPの挙動を完全に特徴づけるフレームワークを構築すること、すなわち、可解性、不可能性、最適値の達成性を含む。
• 強い可解性を持つSDPのみを解けるオーケストラルが、正則化問題の系列を介して任意のSDPインスタンスを解くのに利用可能であることを示すこと。
• 顔削減技術を一般化し、二重の削減によって原始的および双対的両側で強い可解性を保証すること。
• 基本的な内点オーケストラルへのアクセスのみを前提として、一般の線形錐計画問題を理論的に妥当かつ多項式時間で解くアプローチを提供すること。

提案手法

• 元のSDPに顔削減を適用し、余分な制約を特定・除去することで、片側での強い可解性を保証する。
• 削減された問題の双対を構築し、再び顔削減を適用することで、原始的および双対的両側での強い可解性を保証する。
• 最小の顔内での作業により、すべての補助問題で強い可解性を保証する顔削減の変種を採用する。
• 二重顔削減プロセスを採用する：まず元の問題を削減し、その後に得られる正則化問題の双対を削減する。
• 各強い可解性を持つ部分問題に対して内点オーケストラルを用いる再帰的アルゴリズムを設計し、元の問題に関する完全な情報を抽出する。
• 一般の閉凸錐に対して、手順全体の正しさと多項式時間計算量を証明する。SDPに特化した場合も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い可解性を持つSDPのみを解けるオーケストラルが、弱不可能性や達成されない最適値を検出できる任意のSDPを完全に解くのに利用可能か？
• RQ2 SDPを完全に解くために必要な最小のオーケストラル呼び出し回数は何か？ これは問題サイズに対して多項式的に上界を持つことができるか？
• RQ3 二重顔削減（二度の顔削減）をどのように適用すれば、正則化問題の原始的および双対的両側で強い可解性を保証できるか？
• RQ4 提案手法はSDPを越えて他の凸錐クラスへ一般化可能か？
• RQ5 オーケストラル呼び出しと削減の系列から、元の問題のどのような構造的性質を回復できるか？

主な発見

• n×n行列上の任意の半定値計画問題は、強い可解性を持つ原始的双対SDPペアを解ける内点オーケストラルを最大O(n)回呼び出すことで完全に解ける。
• 二重顔削減により、正則化問題の原始的および双対的両方が強い可解性を持つことが保証され、信頼性の高いオーケストラル利用が可能になる。
• この手法は強不可能性と弱不可能性を正しく区別でき、最適値が達成されるか否かを検出できる。
• このアプローチは、正定値錐に限らず、任意の閉凸錐へ一般化可能である。
• アルゴリズムは正当性が保証され、多項式時間で実行され、すべての補助問題が強い可解性を満たすことが保証される。
• 本論文では、顔削減を系統的に二度適用することで、錐最適化における病理的現象を解消し、完全な解法フレームワークを提供することを確立した。