[論文レビュー] Factorization homology of enriched $\infty$-categories

David Ayala, Francis, John+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元多様体上の豊密化$(∞,1)$-圏に対する要因分解ホモロジーを導入し、ホッフシャイルドホモロジーおよびトポロジカルホッフシャイルドホモロジーを一般化する。対称的モノイダル$∞$-圏を豊密化として用いるフレームワークを確立し、スペクトル的状況下で、円周上での要因分解ホモロジーがトポロジカルホッフシャイルドホモロジーを計算することを示した。これにより、高次場の理論におけるカテゴリ化された積分形式的記述が実現された。

ABSTRACT

For an arbitrary symmetric monoidal $\infty$-category $\mathcal{V}$, we define the factorization homology of $\mathcal{V}$-enriched $(\infty,1)$-categories over (possibly stratified) 1-manifolds and study some of its basic properties. In the case of spectral enrichment, we show that the value of factorization homology on a circle is topological Hochschild homology.

研究の動機と目的

• 対称的モノイダル$∞$-圏を豊密化として用いることで、En代数に限らない要因分解ホモロジーの一般化を達成すること。
• ホッフシャイルド型不変量に内在する対称性や構造を捉える関手的フレームワークを確立すること。
• スペクトル的豊密化の場合に、円周上での要因分解ホモロジーがトポロジカルホッフシャイルドホモロジーに一致することを示すこと。
• 特に、随伴を持つ豊密化$(∞,n)$-圏に対して、要因分解ホモロジーの完全な理論のための青写真を提供すること。

提案手法

• 多様体の圏における要因分解系を活用し、フラグ付き豊密化$(∞,1)$-圏上の右ラックス関手を用いて要因分解ホモロジーを定義する。
• コカートジアンファイブレーションおよび要因分解系の理論を用いて、要因分解ホモロジー関手をモデル化する左随伴を構成する。
• 有限極限および余極限を備えた対称的モノイダル$∞$-圏に対して、カルテジアン豊密化要因分解ホモロジーを導入する。
• セガール空間および豊密化$∞$-圏の理論を用いて、フラグ付き豊密化構造と要因分解ホモロジーを関連付ける。
• 対称的モノイダル$∞$-圏$\mathcal{V}$における$E_1$-代数の要因分解ホモロジーを、ディスク分類多様体上の余極限として構成する。
• スペクトルの$∞$-圏である$\mathcal{V}$の場合に、円周上での要因分解ホモロジーの値がトポロジカルホッフシャイルドホモロジーに同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 要因分解ホモロジーは、En代数から豊密化$(∞,1)$-圏へどのように拡張可能か？
• RQ2 対称的モノイダル$∞$-圏が要因分解ホモロジーを定義する際の豊密化として果たす役割は何か？
• RQ3 スペクトル的状況下で、円周上での要因分解ホモロジーはどのようにしてトポロジカルホッフシャイルドホモロジーを回復するか？
• RQ4 右ラックス関手による豊密化$(∞,1)$-圏間の要因分解ホモロジーの関手的構造は何か？
• RQ5 このフレームワークは、デフェクトを伴う高次元場の理論へ一般化可能か？

主な発見

• スペクトル的豊密化における円周上での要因分解ホモロジーは、トポロジカルホッフシャイルドホモロジーに同値であり、THHの幾何的解釈を提供する。
• 要因分解ホモロジーの構成は右ラックスの意味で関手的であり、適切な構造を備えた豊密化$(∞,1)$-圏へ拡張可能である。
• 有限極限および余極限を備えた対称的モノイダル$∞$-圏に対して、カルテジアン豊密化要因分解ホモロジーは適切に定義されており、安定ホモトピー論的フレームワークを可能にする。
• 理論は、入力が豊密化$(∞,1)$-圏で出力がグローバル不変量を符号化する$∞$-圏である、カテゴリ化された積分のバージョンを実現する。
• 要因分解ホモロジーの構成は、ホッフシャイルド型不変量に自然に備わる$T$作用と整合する。これは、対称性を幾何的に現れる。
• このフレームワークは古典的ホッフシャイルドホモロジーを一般化し、サイクロトミックトレースを通じて代数的K理論へ直接的な接続を提供する。また、トポロジカル設定への自然な拡張が可能である。