[論文レビュー] Fair Division of a Graph

Sylvain Bouveret, Kataŕına Cechlárová+3 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Game Theory and Voting Systems被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、各エージェントの割り当てが連結部分グラフを形成する必要があるグラフ制約のもとで、分割不能アイテムの公平配分フレームワークを導入する。木構造のグラフでは、最大最小共有（MMS）割り当て—各エージェントが自身のフェアシェア以上を受ける—が常に存在し、効率的に計算可能であることが証明されているが、サイクル上ではそのような割り当てが存在しないことがある。8頂点の反例によりそれが示されている。

ABSTRACT

We consider fair allocation of indivisible items under an additional constraint: there is an undirected graph describing the relationship between the items, and each agent's share must form a connected subgraph of this graph. This framework captures, e.g., fair allocation of land plots, where the graph describes the accessibility relation among the plots. We focus on agents that have additive utilities for the items, and consider several common fair division solution concepts, such as proportionality, envy-freeness and maximin share guarantee. While finding good allocations according to these solution concepts is computationally hard in general, we design efficient algorithms for special cases where the underlying graph has simple structure, and/or the number of agents -or, less restrictively, the number of agent types- is small. In particular, despite non-existence results in the general case, we prove that for acyclic graphs a maximin share allocation always exists and can be found efficiently.

研究の動機と目的

• グラフ構造を用いて、接続性制約のもとでの分割不能アイテムの公平配分を形式化すること。
• 比例性、無利得性、最大最小共有（MMS）保証のもとでの公平割り当ての存在性および計算複雑性を調査すること。
• 一般にはNP困難であるが、効率的に計算可能な公平割り当てが得られるグラフ構造を同定すること。
• 特にグラフのトポロジーと関連して、MMS割り当てが存在する条件を同定すること。

提案手法

• グラフG、エージェントN、効用関数Uを用いて、接続性を保証する公平配分（CFD）インスタンスとして問題をモデル化すること。
• 可能なMMS値の二分探索と、MMSの閾値を満たす連結割り当てを計算するサブルーチンAを用いること。
• 可分な場合に用いられる古典的な最後の削減者手順を、木構造上のMMS割り当てを構築するために適応すること。
• 連結部分集合の構造的解析を通じて、木構造上でのMMS割り当ての存在を証明すること。
• 8頂点のサイクル上でのMMS割り当ての非存在性を示す反例を構築すること。
• 同じ好みを持つエージェントタイプを用いて複雑性を低減し、パスおよび木構造上で効率的なアルゴリズムを可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アイテム依存関係グラフが木である場合、常に最大最小共有（MMS）割り当てが存在するか？
• RQ2 グラフがパスであり、エージェントが少数のタイプにグループ化されている場合、無利得性または比例的割り当ては効率的に計算可能か？
• RQ3 MMS割り当てが存在しないグラフ構造（例えばサイクル）は存在するか？
• RQ4 接続性制約のもとでの公平割り当ての計算複雑性は何か？
• RQ5 エージェントタイプの数が少ない場合、エージェント数が大きくても効率的なアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 基礎となるグラフが木である場合、MMS割り当ては常に存在し、多項式時間で計算可能である。
• エージェントが定数個のタイプにグループ化されたパスでは、比例的割り当ておよび完全な無利得性割り当ての両方が効率的に計算可能である。
• 比例的割り当ての計算はパスに対してもNP困難であり、完全な無利得性割り当てはパスおよびスターグラフに対してもNP困難である。
• 8頂点のサイクル上では、4人のエージェントと対称的な効用分布を持つ特定の反例により、MMS割り当てが存在しないことが示された。
• 制約なしの設定における既知のMMS非存在例よりも、サイクルの反例はより単純であり、直感的な理解を容易にする。
• 木構造上でのMMS割り当てのためのアルゴリズムは、最後の削減者手順の適応版であり、接続性とMMS値の二分探索を活用している。