[論文レビュー] Fast Distributed Computation in Dynamic Networks via Random Walks

Atish Das Sarma, Anisur Rahaman Molla+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Distributed systems and fault tolerance参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間とともに任意に変化するトポロジーを持つ動的ネットワークにおける、最初の高速で完全に分散型のランダムウォークアルゴリズムを提示する。動的グラフにおける定常分布を定義するための新規フレームワークを導入し、定常分布からのサンプリングに Õ(√(τΦ)) ラウンドの複雑さを達成した。これは、長さ ℓ のランダムウォークに対して単純な O(ℓ) 方法と比べて顕著に改善されたものである。

ABSTRACT

The paper investigates efficient distributed computation in dynamic networks in which the network topology changes (arbitrarily) from round to round. Our first contribution is a rigorous framework for design and analysis of distributed random walk algorithms in dynamic networks. We then develop a fast distributed random walk based algorithm that runs in $ ilde{O}(\sqrt{τΦ})$ rounds (with high probability), where $τ$ is the dynamic mixing time and $Φ$ is the dynamic diameter of the network respectively, and returns a sample close to a suitably defined stationary distribution of the dynamic network. We also apply our fast random walk algorithm to devise fast distributed algorithms for two key problems, namely, information dissemination and decentralized computation of spectral properties in a dynamic network. Our next contribution is a fast distributed algorithm for the fundamental problem of information dissemination (also called as gossip) in a dynamic network. In gossip, or more generally, $k$-gossip, there are $k$ pieces of information (or tokens) that are initially present in some nodes and the problem is to disseminate the $k$ tokens to all nodes. We present a random-walk based algorithm that runs in $ ilde{O}(\min\{n^{1/3}k^{2/3}(τΦ)^{1/3}, nk\})$ rounds (with high probability). To the best of our knowledge, this is the first $o(nk)$-time fully-distributed token forwarding algorithm that improves over the previous-best $O(nk)$ round distributed algorithm [Kuhn et al., STOC 2010], although in an oblivious adversary model. Our final contribution is a simple and fast distributed algorithm for estimating the dynamic mixing time and related spectral properties of the underlying dynamic network.

研究の動機と目的

• トポロジーがラウンドごとに任意に変化する動的ネットワークにおける、効率的な分散型ランダムウォークサンプリングアルゴリズムの設計。
• 無知な敵モデル下での動的グラフにおける定常分布の定義と計算のための厳密なフレームワークの確立。
• 情報拡散（ゴスピング）やスペクトル特性の推定といった、動的ネットワークにおける主要な問題に対する高速分散型アルゴリズムの開発。
• ランダムウォークサンプリングにおけるサブラインラウンド複雑さの達成。長さ ℓ のウォークに対する単純な O(ℓ) 時間と比較して向上。
• 定常分布への収束に関する明示的保証、および動的混合時間とスペクトル特性の推定に関する保証の提供。

提案手法

• 無知な敵がトポロジー変更を制御する動的ネットワークにおける定常分布の定義のための形式的フレームワークを提案。
• 長さ ℓ を繰り返し倍増させる複数の独立したランダムウォークを用い、統計的仮説検定により混合時間を推定。
• バトゥらの[4]のアルゴリズムの分散シミュレーションを用い、ウォークサンプルの経験的分布と一様（定常）分布を比較。
• 小規模なメッセージサイズを想定する CONGEST モデルを採用。グローバルなトポロジー認識は不要で、ローカル知識のみを仮定。
• ゴスピング（kトークン拡散）およびスペクトル特性推定問題の解決に、ランダムウォークプリミティブをサブルーチンとして適用。
• 2の累乗を用いた二分探索により、高確率で混合時間の閾値を効率的に特定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のトポロジー変更が生じる動的ネットワークにおいて、ランダムウォークを用いて定常分布から効率的にサンプリングすることは可能か？
• RQ2 CONGEST モデル下で、動的ネットワークにおける単一のランダムウォークを実行する際の最適なラウンド複雑さは何か？
• RQ3 ランダムウォークを用いて、動的ネットワークにおける kトークン拡散（ゴスピング）のための高速分散型アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 動的混合時間および関連スペクトル特性（例：スペクトルギャップ、混合率）を分散的に効率的に推定する方法は何か？
• RQ5 提案されたランダムウォークベースのアルゴリズムは、動的ネットワーク計算におけるラウンド複雑さの観点で最適か？

主な発見

• 提案されたランダムウォークアルゴリズムは、高確率で Õ(√(τΦ)) ラウンドで実行され、τ は動的混合時間、Φ は動的直径である。
• 任意のトポロジー変更が生じるネットワークにおいても、アルゴリズムは定常分布に近い分布からのサンプリングに成功している。
• n^{1/3}k^{2/3}(τΦ)^{1/3} と nk の小さい方の Õ(min{n^{1/3}k^{2/3}(τΦ)^{1/3}, nk}) ラウンドで実行される高速分散ゴスピングアルゴリズムを設計。従来の O(nk) の境界を改善。
• ソースノード x における動的混合時間 τ^x_mix は、Õ(n^{1/4}√(Φτ^x(ε))) ラウンドで推定可能であり、ε = 1/(6912e√n log n) のとき τ^x_mix ≤ τ^x(ε) が成り立つ。
• 推定された混合時間により、既知の不等式を用いてスペクトルギャップと混合率の近似が可能となり、分散スペクトル解析が可能になる。
• フレームワークとアルゴリズムは完全に分散型であり、グローバル知識を必要とせず、無知な敵モデルに対してもロバストである。