[論文レビュー] Fast Partial Distance Estimation and Applications

Christoph Lenzen, Boaz Patt-Shamir|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、帯域制限のあるコンゲストモデルにおいて、近似的な全ペア最短経路（APSP）を高速に分散処理するアルゴリズムを提示する。近似的に最適に近いラウンド複雑性と、コンパクトなルーティングテーブルを達成している。階層的クラスタリング、ラベル伝播、効率的な部分的距離推定を組み合わせた決定的および確率的スキームを導入し、(1+o(1))-近似APSPを Õ(n) ラウンド、O(k)-近似APSPを Õ(n^{1/2+1/k} + D) ラウンドで計算可能にした。ラベルはO(log n)ビット、ルーティングテーブルはO(n^{1/k})サイズである。

ABSTRACT

We study approximate distributed solutions to the weighted {\it all-pairs-shortest-paths} (APSP) problem in the CONGEST model. We obtain the following results. $1.$ A deterministic $(1+o(1))$-approximation to APSP in $ ilde{O}(n)$ rounds. This improves over the best previously known algorithm, by both derandomizing it and by reducing the running time by a $Θ(\log n)$ factor. In many cases, routing schemes involve relabeling, i.e., assigning new names to nodes and require that these names are used in distance and routing queries. It is known that relabeling is necessary to achieve running times of $o(n/\log n)$. In the relabeling model, we obtain the following results. $2.$ A randomized $O(k)$-approximation to APSP, for any integer $k>1$, running in $ ilde{O}(n^{1/2+1/k}+D)$ rounds, where $D$ is the hop diameter of the network. This algorithm simplifies the best previously known result and reduces its approximation ratio from $O(k\log k)$ to $O(k)$. Also, the new algorithm uses uses labels of asymptotically optimal size, namely $O(\log n)$ bits. $3.$ A randomized $O(k)$-approximation to APSP, for any integer $k>1$, running in time $ ilde{O}((nD)^{1/2}\cdot n^{1/k}+D)$ and producing {\it compact routing tables} of size $ ilde{O}(n^{1/k})$. The node lables consist of $O(k\log n)$ bits. This improves on the approximation ratio of $Θ(k^2)$ for tables of that size achieved by the best previously known algorithm, which terminates faster, in $ ilde{O}(n^{1/2+1/k}+D)$ rounds.

研究の動機と目的

• 帯域制限下での大規模ネットワークにおける近似的な全ペア最短経路（APSP）の効率的分散アルゴリズムの設計。
• コンゲストモデルにおけるAPSP計算のラウンド複雑性を低減しつつ、高い近似品質を維持すること。
• スケーラブルで実用的な展開に不可欠な、コンパクトなルーティングテーブルと小さなノードラベルの実現。
• 再ラベル化とコンパクトなストレージ制約の下で、近似比、ルーティングテーブルサイズ、ラベル長、実行時間のトレードオフを解明すること。

提案手法

• ランダムサンプリングとラベル伝播を用いてネットワークの階層的クラスタリングを構築し、効率的な部分的距離推定を可能にする。
• 各ノードがその部分木および親ノードのラベルを保持する多段階ツリー型ラベリング方式を採用し、高速なルーティング意思決定を実現する。
• BFSツリーを介したパイプライン通信により、集中型近似アルゴリズムのラウンドを分散環境でシミュレートする。
• ランダムサンプリングを用いて、高い確率で近似的な距離を保持するスパーススパニヤーに類似した部分グラフを構築する。
• 階層の複数レベルからの結果を統合し、深さと幅の最良のトレードオフを用いて合計実行時間を最小化する。
• 各ノードが合計でO(n^{2/k})回しかブロードキャストを行わないという事実に依存し、ネットワーク全体での効率的な通信スケジューリングを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的アルゴリズムに依存せずに、(1+o(1))-近似APSPを Õ(n) ラウンドで達成できるか？
• RQ2 O(n^{1/k})サイズのルーティングテーブルとO(k log n)-ビットラベルを用いて、達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 コンゲストモデルにおいて、コンパクトなデータ構造を維持しながら通信ラウンド数を最小限に抑えるにはどうすればよいか？
• RQ4 再ラベル化が許可される状況で、実行時間、近似比、テーブルサイズの最適なトレードオフは何か？
• RQ5 低ラウンド複雑性、小さなラベル、コンパクトなルーティングテーブルを同時に達成できる分散アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 決定的アルゴリズムにより、(1+o(1))-近似APSPが Õ(n) ラウンドで計算可能であり、従来の確率的アルゴリズムをデランドマイズするとともに、実行時間をΘ(log n)因子だけ短縮した。
• 確率的アルゴリズムにより、O(log n)-ビットラベルとO(n^{1/k})サイズのルーティングテーブルを用いて、O(k)-近似APSPが Õ(n^{1/2+1/k} + D) ラウンドで達成可能であり、近似比をO(k log k)からO(k)に改善した。
• 代替アルゴリズムにより、O(n^{1/k})サイズのテーブルとO(k log n)-ビットラベルを用いて、O(k)-近似APSPが Õ((nD)^{1/2}·n^{1/k} + D) ラウンドで達成可能であり、同サイズテーブルにおける近似比をΘ(k²)からO(k)に改善した。
• ネットワーク直径Dに基づいて階層レベルl₀を動的に選択することで、実行時間を最適化でき、高確率で Õ(min{(nD)^{1/2}·n^{1/k}, n^{2/3+2/(3k)}} + D) ラウンドの最小値を達成できる。
• 提案されたスキームは、ルーティングおよび距離推定においてストレッチ4k−3+o(1)を達成し、ルーティングテーブルサイズはÕ(n^{1/k})、ラベルサイズはO(k log n)であり、コンパクトなテーブルにおける近似比の既知の下界と一致する。
• アルゴリズムはステートレスであり、1ラウンドあたりO(log n)-ビットのメッセージのみを用いるため、コンゲストモデル下での大規模ネットワークに効率的かつ実用的である。