[論文レビュー] Fast quantum algorithms for approximating some irreducible representations of groups

Stephen P. Jordan|ArXiv.org|Nov 4, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 45被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、対称群 $S_n$、交代群 $A_n$、およびリー群 $U(n)$、$SU(n)$、$SO(n)$ などの重要な群の既約表現の行列要素を近似する多項式時間の量子アルゴリズムを提示する。量子フーリエ変換および量子シュール変換を用いる。最悪ケースのインスタンスに対して、古典的手法に比べて指数的高速化を達成するが、平均ケースの行列要素推定は古典的にも効率的である。

ABSTRACT

We consider the quantum complexity of estimating matrix elements of unitary irreducible representations of groups. For several finite groups including the symmetric group, quantum Fourier transforms yield efficient solutions to this problem. Furthermore, quantum Schur transforms yield efficient solutions for certain irreducible representations of the unitary group. Beyond this, we obtain poly(n)-time quantum algorithms for approximating matrix elements from all the irreducible representations of the alternating group A_n, and all the irreducible representations of polynomial highest weight of U(n), SU(n), and SO(n). These quantum algorithms offer exponential speedup in worst case complexity over the fastest known classical algorithms. On the other hand, we show that average case instances are classically easy, and that the techniques analyzed here do not offer a speedup over classical computation for the estimation of group characters.

研究の動機と目的

• 有限群およびコンパクトリー群の既約表現の行列要素を近似する効率的量子アルゴリズムの開発。
• 量子計算が古典計算に比べて指数的高速化を達成する群表現のクラスの同定。
• 群表現の行列要素推定と特性の量子複雑度の明確化。
• 量子フーリエ変換や量子シュール変換といった既知の量子アルゴリズムを、より広い群と表現のクラスへと拡張すること。
• 行列要素近似の古典的に難しいインスタンスと易しいインスタンスの境界の解明。

提案手法

• 有限群でフーリエ変換が効率的なもの（例：$S_n$）の既約表現を効率的に実装するため、量子フーリエ変換を活用する。
• ユニタリ群 $U(n)$ の既約表現を効率的に実装するため、量子シュール変換を用いる。
• 行列要素 $\langle \psi | U | \psi \rangle$ の実部を、量子回路測定によって推定するため、ハダマードテストを適用する。
• 自己双対なヤング図と符号の対称性を活用して、$A_n$ の既約表現に対する多項式時間量子回路を構築する。
• ゲルファンド＝ツェトリン表現から導かれるハミルトニアンの時間発展演算をシミュレートすることで、リー群へのアプローチを拡張し、演算子ノルムが有界であることを保証する。
• リー代数表現 $a_{\vec{m}}(H_p)$ のノルムが行列内の位置 $p$ に依存しないことを証明し、すべてのハミルトニアン項において一様なシミュレーション複雑度を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交代群 $A_n$ の既約表現の行列要素を近似する効率的量子アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 最高重みが多項式的な $U(n)$、$SU(n)$、$SO(n)$ の量子アルゴリズムは、古典的アルゴリズムに比べて指数的高速化を達成できるか？
• RQ3 対称群 $S_n$ の既約表現の行列要素推定問題は、最悪ケースにおいて古典的に困難であるか？ そして、量子アルゴリズムはその問題を効率的に解けるか？
• RQ4 行列要素に有効な技術が、$S_n$ の正規化された特性推定にはなぜ高速化をもたらさないのか？
• RQ5 ブレード群のジョーンズ＝ウェンツル表現と対称群との間で、行列要素と特性の近似の複雑度の関係は何か？

主な発見

• 本稿では、すべての $A_n$ の既約表現の行列要素を $\pm\epsilon$ の誤差で近似する $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$-時間の量子アルゴリズムを構築した。
• $U(n)$、$SU(n)$、$SO(n)$ に対しては、最高重みが多項式的な表現の行列要素を $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$-時間で近似するアルゴリズムを達成した。
• これらの群における行列要素推定の最悪ケースに対して、本稿のアルゴリズムは、既知の最速の古典的アルゴリズムに比べて指数的高速化を達成した。
• 行列要素推定の平均ケースインスタンスは、古典的にも容易であることが示された。これは、$S_n$ の正規化された特性を $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$-時間で推定できる確率的古典的アルゴリズムがあることによる。
• 正規化された $S_n$ の特性推定には、量子高速化が得られない。これは、これらの問題が BPP かつ DQC1-完全であるためである。
• ノルム $\|a_{\vec{m}}(H_p)\|$ が行列内の位置 $p$ に依存しないことが証明され、すべてのハミルトニアン項において一様なシミュレーション複雑度が保証された。