[論文レビュー] Fast quantum algorithms for traversing paths of eigenstates

Sergio Boixo, E. Knill+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、位相推定とアモニチュード増幅を用いて、量子系の固有状態の経路を走査する高速なデジタル量子アルゴリズムを提示する。複雑度は 𝒪((L/Δ)log(L/ε)) であり、L は角路長、Δ は最小固有値ギャップである。本手法は経路の連続性に関する仮定を必要とせず、経路長とギャップが複雑度の主因となるように大幅に改善された。アディアバティック法や従来のデジタル手法に比べ、経路長とギャップが複雑度の主導的要因となる。

ABSTRACT

Consider a path of non-degenerate eigenstates of unitary operators or Hamiltonians with minimum eigenvalue gap G. The eigenpath traversal problem is to transform one or more copies of the initial to the final eigenstate. Solutions to this problem have applications ranging from quantum physics simulation to optimization. For Hamiltonians, the conventional way of doing this is by applying the adiabatic theorem. We give ``digital'' methods for performing the transformation that require no assumption on path continuity or differentiability other than the absence of large jumps. Given sufficient information about eigenvalues and overlaps between states on the path, the transformation can be accomplished with complexity O(L/G log(L/e)), where L is the angular length of the path and e is a specified bound on the error of the output state. We show that the required information can be obtained in a first set of transformations, whose complexity per state transformed has an additional factor that depends logarithmically on a maximum angular velocity along the path. This velocity is averaged over constant angular distances and does not require continuity. Our methods have substantially better behavior than conventional adiabatic algorithms, with fewer conditions on the path. They also improve on the previously best digital methods and demonstrate that path length and the gap are the primary parameters that determine the complexity of state transformation along a path.

研究の動機と目的

• 初期固有状態 |ψ₀⟩ を非 degenerate 固有状態の経路に沿って最終固有状態 |ψ₁⟩ に変換する効率的なデジタル量子アルゴリズムの開発。
• 経路の連続性や微分可能性に関する仮定を排除することで、アディアバティック定理の制限を克服すること。
• 固有状態変換の複雑度の主たるパラメータとして、角路長 L と固有値ギャップ Δ を特定すること。
• ギャップと隣接状態間の重なりに関する境界のみを用いて、最小限の事前知識で動作するフレームワークを提供すること。
• 従来のアディアバティック法やデジタル手法に比べ、複雑度を低減することでスケーラブルな量子シミュレーションと最適化を可能にすること。

提案手法

• 固有状態経路に沿った制御変換を構築するために、位相推定とアモニチュード増幅をコア量子プリミティブとして活用する。
• 角路長 L を、経路の任意の離散化における全コサイン距離の上界として定義し、滑らかでないまたは不連続な経路を捉える。
• 誤差を管理し、複雑度を制御するために、経路を部分区間へ再帰的に分解し、確率的解析にガルトン＝ウォーソン過程を用いる。
• 経路の不規則性を測るための「局所平均角速度 v_max」の概念を導入し、複雑度が 𝒪((ℒ/Δ)log(ℒ/ε)) にスケーリングすることを示す。ここで ℒ = L(log(v_max/v_avg)+2) である。
• 摂動理論的ツール（例：リゾルベントのテクニックや一次摂動論）を用いて、ハミルトニアンの微小変化下での固有状態間の角距離を推定する。
• 複数のコピーにわたる精度を維持する再帰的誤差低減戦略を採用し、すべてのコピーに誤差境界を同時に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路の滑らかさや連続性に依存しない複雑度で、固有状態経路走査が達成可能か？
• RQ2 デジタル量子アルゴリズムによる固有状態変換の複雑度を支配する根本的パラメータは何か？
• RQ3 角路長 L と固有値ギャップ Δ を用いて、必要な量子操作回数の上限をどのように評価できるか？
• RQ4 経路の正則性が不明な場合、局所平均角速度 v_max がアルゴリズムの複雑度に果たす役割は何か？
• RQ5 経路に関する限られた事前知識のもとでも、L と Δ に関して近似的に最適なスケーリングを達成できるか？

主な発見

• 重なりとギャップに関する十分な情報を得られた場合、固有状態変換の複雑度が 𝒪((L/Δ)log(L/ε)) に達することが保証され、L は角路長である。
• 複雑度は最適解に対し対数因子の範囲内にあり、U_s の Ω(L/Δ) 回の適用を必要とする問題が存在することから、近似的に最適であることが示された。
• 情報が限られる場合、複雑度は 𝒪((ℒ/Δ)log(ℒ/ε)) にスケーリングされ、ℒ = L(log(v_max/v_avg)+2) である。ここで v_max は最大の局所平均角速度である。
• 連続的でない、あるいは微分不能な経路に対しても、連続性に依存せず、角距離とギャップ制約のみに依存して処理可能である。
• ガルトン＝ウォーソン過程の使用により、活性な経路セグメント数の期待値が有界となり、再帰的分解における誤差制御が効率的に行える。
• 摂動理論的境界（例：補題 D.1 および系 D.2）により、ハミルトニアンの微小摂動下での固有状態間の角距離を推定でき、実装可能性が保証される。