[論文レビュー] Fibrations and lax limits of $(\infty,2)$-categories

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\omega$-インデックス付き図式の4つのバリエーション（$\beta$, $\beta^{\mathrm{op}}$, $\beta^{\mathrm{co}}$, $\beta^{\mathrm{coop}}$）に対応する4種類のファイブレーション（内部/外部のカルテジアンおよびコカルテジアン）を用いて、$(\infty,2)$-圏における2-(co)極限の包括的理論を確立する。これらのファイブレーションが、lax、重み付き、および擬似極限を符号化することを証明し、このような2-(co)極限がマーク付き単体的セットにテンソルされたモデル圏における重み付きホモトピー極限として計算できることを示す。また、コファイナリティが極限の一意性を保証することも示している。

ABSTRACT

We study four types of (co)cartesian fibrations of $\infty$-bicategories over a given base $\mathcal{B}$, and prove that they encode the four variance flavors of $\mathcal{B}$-indexed diagrams of $\infty$-categories. We then use this machinery to set up a general theory of 2-(co)limits for diagrams valued in an $\infty$-bicategory, capable of expressing lax, weighted and pseudo limits. When the $\infty$-bicategory at hand arises from a model category tensored over marked simplicial sets, we show that this notion of 2-(co)limit can be calculated as a suitable form of a weighted homotopy limit on the model categorical level, thus showing in particular the existence of these 2-(co)limits in a wide range of examples. We finish by discussing a notion of cofinality appropriate to this setting and use it to deduce the unicity of 2-(co)limits, once exist.

研究の動機と目的

• ∞-圏値図式の4つのバリエーション（$\beta$, $\beta^{\mathrm{op}}$, $\beta^{\mathrm{co}}$, $\beta^{\mathrm{coop}}$）を符号化する4種類のファイブレーションを同定することで、$(\infty,2)$-圏におけるグロタンディーク＝ルリエ対応を拡張すること。
• lax、重み付き、および擬似極限を捉えることができる、$\infty$-2圏における2-(co)極限の一般理論を構築すること。
• これらの2-(co)極限が、マーク付き単体的セットにテンソルされたモデル圏における重み付きホモトピー極限として計算できることを示すこと。
• $(\infty,2)$-圏的文脈におけるコファイナリティの概念を導入し、2-(co)極限が存在する場合にその一意性が保証されることを証明すること。

提案手法

• 図式のバリエーション $\beta$, $\beta^{\mathrm{op}}$, $\beta^{\mathrm{co}}$, $\beta^{\mathrm{coop}}$ を符号化するため、$\infty$-2圏 $\beta$ 上に4種類のファイブレーション（内部コカルテジアン、外部カルテジアン、外部コカルテジアン、内部カルテジアン）を導入する。
• マーク付きスケーリング単体的セットに対するストレートニング・アンストレートニングの道具立てを用いて、これらのファイブレーションを${\mathcal{C}\mspace{-2.0mu}\mathit{at}}_{\infty}$ に値をとる関手と関連付ける。
• 各バリエーションの種類に対して普遍ファイブレーションを構成し、$\infty$-2圏におけるコネクションの普遍性を用いて2-(co)極限を定義する。
• コファイナリティ条件を適用し、2-(co)極限コネクションが、マーク付きエッジがカルテジアン構造を符号化する$\infty$-2圏におけるコネクションの普遍的対象として特徴づけられることを示す。
• スケーリング単体的セット上の2圏的モデル構造と2-自明なコンプリカリスモデル構造の同値性に依拠することで、適切なホモトピー的性質が保証されることを確認する。
• $\infty$-2圏がマーク付き単体的セットにテンソルされたモデル圏から導かれる場合、その$\infty$-2圏における2-(co)極限が、モデル圏的レベルでの重み付きホモトピー極限と一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\infty,2)$-圏上での$\infty$-圏値図式の4つのバリエーション（$\beta$, $\beta^{\mathrm{op}}$, $\beta^{\mathrm{co}}$, $\beta^{\mathrm{coop}}$）は、どのようにファイブレーション構造によって符号化できるか？
• RQ2 lax、重み付き、および擬似極限を捉えるために、$(\infty,2)$-圏的文脈における(コ)カルテジアンファイブレーションの正しい一般化は何か？
• RQ3 $\infty$-2圏における2-(co)極限は、どのようにしてホモトピー的に整合的な方法で定義され、計算できるか？
• RQ4 $(\infty,2)$-圏的文脈において、2-(co)極限の存在時にその一意性を保証するコファイナリティの概念は何か？
• RQ5 モデル圏から導かれる$\infty$-2圏における2-(co)極限は、古典的な重み付きホモトピー極限とどの程度一致するか？

主な発見

• $(\infty,2)$-圏上での$\infty$-圏値図式の4つのバリエーションは、それぞれ内部コカルテジアン、外部カルテジアン、外部コカルテジアン、内部カルテジアンファイブレーションによって分類される。
• ${\mathcal{C}\mspace{-2.0mu}\mathit{at}}_{\infty}$ の$\infty$-2圏上に普遍の内部コカルテジアンファイブレーションが存在し、これにより普遍コネクションを用いた2-(co)極限の構成が可能になる。
• 図式 $f: \overline{K} \to \mathcal{C}$ に関するコネクションの$\infty$-2圏（マーク付きエッジを備える）は、コファイナリティ条件が満たされると、2極限コネクションの合同なケイ・コンプレックスを備える。
• 2-(co)極限コネクションが普遍であることは、コネクションをコネクションの$\infty$-2圏への包含が$\mathrm{var}$-コファイナル写像であることに限定される。これは、$\infty$-圏的文脈における最終性の概念を一般化する。
• マーク付き単体的セットにテンソルされたモデル圏において、関連する$\infty$-2圏における2-(co)極限は、モデル圏的レベルで重み付きホモトピー極限として計算される。
• 2極限コネクションおよびそれらの間のカルテジアン射からなる部分$\infty$-2圏は、合同なケイ・コンプレックスである。これは、2-(co)極限が同型の下で一意的であることを証明する。