[論文レビュー] Gray tensor products and lax functors of $(\infty,2)$-categories

Andrea Gagna, Yonatan Harpaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スケーリングされた単体的集合の枠組みにおいて、$(\infty,2)$-圏のwell-behavedなグレイテンソル積を導入し、それが結合的で、左クィルレン双関手であることを証明する。この積は、余代的関手を用いた普遍性によって特徴づけられ、ゲイツガリー＝ローゼンブリュムの構成との比較に向けた基盤を提供し、高次圏論におけるホモトピー論的応用を可能にする。

ABSTRACT

We give a definition of the Gray tensor product in the setting of scaled simplicial sets which is associative and forms a left Quillen bifunctor with respect to the bicategorical model category of Lurie. We then introduce a notion of oplax functor in this setting, and use it in order to characterize the Gray tensor product by means of a universal property. A similar characterization was used by Gaitsgory and Rozenblyum in their definition of the Gray product, thus giving a promising lead for comparing the two settings.

研究の動機と目的

• スケーリングされた単体的集合の枠組みにおいて、$(\infty,2)$-圏のwell-behavedなグレイテンソル積を定義すること。
• この積が結合的であり、ルーリエの2圏的モデル構造に関して左クィルレン双関手をなすことの確立。
• $(\infty,2)$-圏の文脈において余代的関手の概念を導入し、それを用いてグレイ積を普遍性によって特徴づけること。
• ゲイツガリー＝ローゼンブリュムのグレイ積との比較の道筋を提供するため、余代的関手の普遍性に一致させること。

提案手法

• 著者たちは、ルーリエの2圏的モデル構造を備えたスケーリングされた単体的集合の圏内で作業する。
• グレイテンソル積を、実際に結合的で、各変数においてコーマップと弱同値を保存する双関手として定義する。
• 2-圏的余代的関手の一般化として、薄い三角形を制御的に保存するような、$(\infty,2)$-圏間の写像として余代的関手を定義する。
• 特定の2-単体の像に関する条件の下で、$\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ から $\mathcal{E}$ への余代的関手の関手が、$\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}$ から $\mathcal{E}$ への関手の関手と同値であることを示し、普遍性を構成する。
• 4-単体 $\mathfrak{P}$ 及びその面を用いた飽和的閉包の議論により、目標のすべての薄い三角形が余代的関手の像によってカバーされることを示す。
• 関手 $\mathrm{Fun}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}, \mathcal{E})$ から $\mathrm{Fun}_{\mathrm{oplax}}(\mathcal{C} \times \mathcal{D}, \mathcal{E})$ への制限関手が、特定の本質的像条件を満たす完全に忠実であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリングされた単体的集合モデルにおいて、$(\infty,2)$-圏のグレイテンソル積をどのように定義すれば、それが結合的であり、2圏的モデル構造を尊重するようになるか？
• RQ2 $(\infty,2)$-圏の文脈において、余代的関手を用いた普遍性によってグレイテンソル積を特徴づけることは可能か？
• RQ3 提案された構成は、ゲイツガリーとローゼンブリュムが高次圏論において用いているグレイ積とどの程度一致するか？
• RQ4 どの条件を満たせば、余代的関手がグレイテンソル積を通して因数分解可能になるか？
• RQ5 グレイ積の普遍性は、ゲイツガリー＝ローゼンブリュムのフレームワークにおけるそれと同値か？

主な発見

• スケーリングされた単体的集合上で定義されたグレイテンソル積は、実際に結合的であり、ルーリエの2圏的モデル構造に関して左クィルレン双関手をなす。
• 制限写像 $\mathrm{Fun}(\mathcal{C} \otimes \mathcal{D}, \mathcal{E}) \to \mathrm{Fun}_{\mathrm{oplax}}(\mathcal{C} \times \mathcal{D}, \mathcal{E})$ は完全に忠実であり、本質的像は次の2条件を満たす余代的関手からなる：スライス上の写像の保存、および特定の2-単体が薄い三角形に写されること。
• 証明は、特定の集合 $G_{\mathcal{C} \times \mathcal{D}}$ の飽和的閉包が、目標のすべての薄い2-単体をカバーすることを示すことで成り立つ。その際、4-単体 $\mathfrak{P}$ 及びその面の分解を用いる。
• この構成は、ゲイツガリーとローゼンブリュムが用いたものと類似した普遍性を備えており、両者のグレイ積の比較に向けた道筋を提供する。
• この結果により、$(\infty,2)$-圏の$(\infty,2)$-圏の基礎となる圏が、グレイ積を用いてpresentably monoidal構造を持つことが示唆される。
• 著者たちは、ヴェリティの枠組みにおける分類付き集合による定義と、モデル間の既知の同値性を用いて、自らのグレイ積がそれと同値であることを確立する。