[論文レビュー] Fibrations of predicates and bicategories of relations

Finn Lawler|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、2-圏の正則ファイブレーションと、正則論理をモデル化する公理を満たすカルテジアン設備（カルテジアン設備）の2-圏の間の同値性を確立する。この同値性は、プロファンクターの3-圏を介して構成され、設備をこの3-圏における擬似モノイドとして定義し、ファイブレーションにおける理解（comprehension）が設備におけるタブレーションに対応することを示す。さらに、コモノイドのアイレンバーグ＝ムール対象がタブレーションを特徴づける。

ABSTRACT

We reconcile the two different category-theoretic semantics of regular theories in predicate logic. A 2-category of `regular fibrations' is constructed, as well as a 2-category of `regular proarrow equipments', and it is shown that the two are equivalent. A regular equipment is a `cartesian equipment' satisfying certain axioms, and a cartesian equipment is a slight generalization of a cartesian bicategory. This is done by defining a tricategory Biprof whose objects are bicategories and whose morphisms are category-valued profunctors, and then defining an equipment to be a pseudo-monad in this tricategory. The resulting notion of equipment is compared to several existing ones. Most importantly, this involves showing that every pseudo-monad in Biprof has a Kleisli object. A strict 2-category of equipments, over locally discrete base bicategories, is identified, and cartesian equipments are defined to be the cartesian objects in this 2-category. Thus cartesian equipments themselves form a 2-category, and this is shown to admit a 2-fully-faithful functor from the 2-category of regular fibrations. The cartesian equipments in the image of this functor are characterized as those satisfying certain axioms, and hence a 2-category of `regular equipments' is identified that is equivalent to that of regular fibrations. It is then shown that a regular fibration admits comprehension for predicates if and only if its corresponding regular equipment admits tabulation for morphisms, and further that the presence of tabulations for morphisms is equivalent to the existence of Eilenberg--Moore objects for co-monads. We conclude with a brief examination of the two different constructions of the effective topos, via triposes and via assemblies, in the light of the foregoing.

研究の動機と目的

• 正則論理の2つの圏論的意味論（ファイブレーションと関係の2-圏）を統合すること。
• 正則ファイブレーションの2-圏と正則設備の2-圏を構成し、それらが同値であることを示すこと。
• 正則ファイブレーションから理解とタブレーションを経て正則設備が得られる条件を特徴づけること。
• 設備におけるタブレーションがコモノイドのアイレンバーグ＝ムール対象に対応することを示すこと。
• このファイブレーション・設備の同値性の観点から、トライプラスとアセンブリの観点による有効トポスの構成を検討すること。

提案手法

• 2-プロファンクターの3-圏 2-Prof を基礎的枠組みとして用いる。
• 設備を 2-Prof 内の擬似モノイドとして定義し、カルテジアン2-圏の一般化を図る。
• 局所的に離散的なベース2-圏を用いた設備の厳密な2-圏を構成する。
• カルテジアン設備をこの2-圏におけるカルテジアン対象として同定する。
• 2-Prof 内のすべての擬似モノイドが Kleisli 対象を持つことを示し、設備の Kleisli 圏の構成を可能にする。
• 正則ファイブレーションからカルテジアン設備への2-完全忠実関手を確立し、その像を公理によって特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則論理は、ファイブレーションと関係の2-圏の両方を統一的にどのようにモデル化できるか？
• RQ2 正則論理の文脈において、ファイブレーションと関係の2-圏を統合する正確な圏論的構造は何か？
• RQ3 正則ファイブレーションが理解とタブレーションを経て正則設備に移行する条件は何か？
• RQ4 コモノイドのアイレンバーグ＝ムール対象は、カルテジアン設備におけるタブレーションとどのように関係するか？
• RQ5 トライプラスとアセンブリの両方の観点から有効トポスを構成する際、このファイブレーション・設備の同値性を用いて2つの構成を比較可能か？

主な発見

• 正則ファイブレーションの2-圏と正則設備の2-圏は同値である。
• 正則ファイブレーションにおける述語の理解は、対応する正則設備における射のタブレーションに正確に対応する。
• カルテジアン設備における射のタブレーションは、コモノイドのアイレンバーグ＝ムール対象の存在と同値である。
• 2-Prof 内のすべての擬似モノイドが Kleisli 対象を持つことにより、任意の設備に対して整合的かつ良好な Kleisli 2-圏の存在が保証される。
• ファイブレーションと S(C)-豊饗圏の間の同値性は、豊饗設定における正則構造の解釈の一般枠組みを示唆する。
• 本研究の結果は、トライプラスとアセンブリにおける実現可能性構成の比較を、ファイブレーション・設備の双対性を通じて構造的に可能にする基盤を提供する。