[論文レビュー] Enriched categories as a free cocompletion

Richard Garner, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、モノイダル2カテゴリにおける2カテゴリの豊密化理論を構築し、古典的な豊密化圏論を高次圏へ一般化する。${\mathcal{V}}$-圏、関手、変換、モジュールの設備が、ある特定の豊密化2カテゴリにおける重み付きバイコリムの下での自由ココアプティマイゼーションとして生じることを確立し、重み付きバイコリムと高次元の普遍的性質を通じて豊密化圏の普遍的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

This paper has two objectives. The first is to develop the theory of bicategories enriched in a monoidal bicategory -- categorifying the classical theory of categories enriched in a monoidal category -- up to a description of the free cocompletion of an enriched bicategory under a class of weighted bicolimits. The second objective is to describe a universal property of the process assigning to a monoidal category V the equipment of V-enriched categories, functors, transformations, and modules; we do so by considering, more generally, the assignation sending an equipment C to the equipment of C-enriched categories, functors, transformations, and modules, and exhibiting this as the free cocompletion of a certain kind of enriched bicategory under a certain class of weighted bicolimits.

研究の動機と目的

• モノイダル2カテゴリを豊密化の基本として用いることで、古典的なモノイダル圏における豊密化の理論を高次圏へ一般化する。
• モノイダル圏${\mathcal{V}}$を${\mathcal{V}}$-圏、関手、変換、モジュールの設備に割り当てる構成に対して普遍的性質を提供する。
• この割り当てが、豊密化2カテゴリ的枠組みにおける特定のクラスの重み付きバイコリムの下での自由ココアプティマイゼーションとして生じることを示す。
• 豊密化関手、モジュール、コリムの既存の概念を統合・一般化し、それらを高次圏的普遍構成に埋め込む。

提案手法

• モノイダル圏をモノイダル2カテゴリに置き換えることで、古典的な豊密化圏論をカテゴリ化する。
• ${\mathcal{V}}$-2カテゴリを定義し、${\mathcal{V}}$というモノイダル2カテゴリの対象を対象とするホモロジー対象を持ち、合成と単位1-セルが整合性のある可逆2セルを介して定義される。
• ${\mathcal{V}}$-2カテゴリの三三体を定義し、モジュール、テンソル積、モジュール間の内部ホモを定義する。
• ${\mathcal{V}}$-2カテゴリに対してヤヌダの補題を確立し、右モジュールの圏を定義する。
• タイトなコラージュとモジュール圏内の随伴構造を用いて、重み付きバイコリムの下での自由ココアプティマイゼーションを構成する。
• コラージュと随伴の普遍的性質を用いて、${\mathcal{C}}$-圏の設備が、特定の豊密化2カテゴリにおけるタイトなコラージュの下での自由ココアプティマイゼーションであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル2カテゴリを用いることで、古典的な豊密化圏論を高次圏的設定にどのように拡張できるか？
• RQ2 ${\mathcal{V}}$-圏、関手、変換、モジュールの設備を特徴付ける普遍的性質は何か？
• RQ3 重み付きバイコリムとコラージュは、豊密化2カテゴリの自由ココアプティマイゼーションとどのように関係するか？
• RQ4 豊密化における局所的ココアプティマイゼーションの包含が、豊密化圏の普遍的特徴付けをどのように改善するか？
• RQ5 豊密化関手の概念は、自由ココアプティマイゼーション構成におけるタイトな射として正確に回復可能か？

主な発見

• ${\mathcal{V}}$-圏、関手、変換、モジュールの設備が、ある特定の豊密化2カテゴリにおける重み付きバイコリムの下での自由ココアプティマイゼーションであることが示された。
• ${\mathcal{C}}$-圏の構成が自由ココアプティマイゼーションとして行われることで、豊密化関手がタイトな射として正確に回復され、従来の手法における制限が解消された。
• モジュールは自由ココアプティマイゼーションにおけるローブな射として自然に生じ、以前の研究で用いられたメーリー射よりもより自然で一般的な概念を提供する。
• 普遍的性質はタイトなコラージュと随伴構造を用いて確立され、コラージュの右随伴が普遍的構成における逆同型を与える。
• ${\mathcal{C}}$が局所的ココアプティマイゼーションを備えるとき、タイトなコラージュの下での自由ココアプティマイゼーションは、${\mathcal{C}}$-圏、関手、変換、モジュールの圏と一致することが示された。
• 本結果は、[LS02]における先行観察を一般化し、設備と局所的ココアプティマイゼーションの使用が、豊密化圏のより洗練され正確な普遍的特徴付けを可能にすることを示している。