[論文レビュー] FIFO anomaly is unbounded

Péter Fornai, Antal Iványi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2010

Optimization and Search Problems参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、FIFOページ置換アルゴリズムが無限大の異常を示しうることを証明している。メモリサイズを増加させるとページフォールトが著しく増加し、直感に反する。著者らは、より大きなメモリにおけるページフォールト数をより小さなメモリにおけるページフォールト数で割った異常比が任意の有限値を超える参照文字列を構築した。これにより、異常比が2未満であるとされたベラディの予想が否定された。

ABSTRACT

Virtual memory of computers is usually implemented by demand paging. For some page replacement algorithms the number of page faults may increase as the number of page frames increases. Belady, Nelson and Shedler constructed reference strings for which page replacement algorithm FIFO produces near twice more page faults in a larger memory than in a smaller one. They formulated the conjecture that 2 is a general bound. We prove that this ratio can be arbitrarily large.

研究の動機と目的

• FIFOの異常比が2未満であるとされたベラディの予想を反証すること。
• FIFOページ置換アルゴリズムにおいて、異常比を任意に大きくできることを示すこと。
• 任意に高い異常比を生じる参照文字列を明示的に構築すること。
• 任意の所望の異常比に対してそのような参照文字列を生成する一般アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• FIFOのページ置換動作を模倣する疑似コードアルゴリズム ANOMALY を用いて、ページ参照のシーケンスを生成する参照文字列 R を構築する。
• 長さ n（奇数、n ≥ 5）の巡回的参照文字列を用い、小さなメモリでは m = n-2 フレーム、大きなメモリでは n-1 フレームを用いる。
• 制御状態機構を採用し、小さなメモリを (w3, w4, ..., wn) に初期化し、大きなメモリを (2, 3, ..., n) に初期化する。
• FIFOにおけるページフォールト挙動を分析し、小さなメモリで n 回のフォールト、大きなメモリで n(n-1)/2 回のフォールトが発生することを示す。
• n が増加するにつれて、異常比 fFIFO(R, M)/fFIFO(R, m) が (n-1)/2 に近づくことを示す。
• 数論的補題を用いて、FIFOにおけるページ置換シーケンスの周期的およびモジュラーな挙動を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FIFOの異常比は任意の有限値を超えることができ、ベラディの予想に反するか？
• RQ2 どの参照文字列の構築法が、FIFOにおける任意に大きな異常比を生じるか？
• RQ3 異常比はメモリサイズおよび参照文字列構造にどのように依存するか？
• RQ4 巡回的参照文字列において、FIFOの最大異常比は何か？

主な発見

• FIFOの異常比は任意に大きくでき、ベラディの予想（異常比が2未満）が否定された。
• 任意の大きな数 L に対して、fFIFO(R, M)/fFIFO(R, m) > L を満たすパラメータ m, M, 参照文字列 R が存在する。
• 奇数 n に対して、異常比は (n-1)/2 に近づく。ここで n は異なるページ数を表す。
• n = 15 のとき、異常比は 7 を超える（>7）が、n が増加するにつれて無限大に発散する。
• ANOMALY アルゴリズムは、小さなメモリが特定の制御状態に達するのを強制し、大きなメモリでのページフォールト数を最大化する参照文字列を生成する。
• 本論文は、巡回的参照文字列においても異常比が無限大であることを証明しており、これはしばしば最悪ケースと見なされる。