[論文レビュー] Finding a maximum induced degenerate subgraph faster than 2^n

Marcin Pilipczuk, Michał Pilipczuk|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の固定された $ d \geq 1 $ に対して、最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフを $ (2 - \varepsilon_d)^n n^{\mathcal{O}(1)} $ 時間で見つける確率的アルゴリズムを提示する。これは $ 2^n $ の壁を破る。この手法は、確率的サンプリング、貪欲な頂点選択、およびブルートフォースな精錬を組み合わせ、成功確率が少なくとも $ (2 - \varepsilon_d)^{-n} $ であることを保証する。これにより、包含的意味での最大の $ d $-稠密部分グラフの数が $ (2 - \varepsilon_d)^n $ 未満であることが示される。

ABSTRACT

In this paper we study the problem of finding a maximum induced d-degenerate subgraph in a given n-vertex graph from the point of view of exact algorithms. We show that for any fixed d one can find a maximum induced d-degenerate subgraph in randomized (2-eps_d)^n n^O(1) time, for some constant eps_d>0 depending only on d. Moreover, our algorithm can be used to sample inclusion-wise maximal induced d-degenerate subgraphs in such a manner that every such subgraph is output with probability at least (2-eps_d)^-n; hence, we prove that their number is bounded by (2-eps_d)^n.

研究の動機と目的

• 任意の $ n $ 頂点グラフにおける最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフを求める際の $ 2^n $ 時間の壁を打ち破ること。
• 任意の固定された $ d \geq 1 $ に対して、実行時間 $ (2 - \varepsilon_d)^n n^{\mathcal{O}(1)} $ の確率的アルゴリズムを提供すること。
• 包含的意味での最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフの数が $ (2 - \varepsilon_d)^n $ で抑えられることを証明し、これにより超指数的列挙が可能であることを示すこと。
• スパarsity（$ d $-稠密性を介して）が、ブルートフォースを除く高速な正確アルゴリズムの実現を可能にするかどうかを調査すること。

提案手法

• 最適解に含まれると期待される集合 $ A $ と、それと互いに素な集合 $ Z $ を構築するための確率的サンプリング戦略を用いる。
• 残りのグラフにおける次数が低い頂点を反復的に選ぶ貪欲な選択ルール（ルール 2）を適用し、パラメータ $ \kappa $ を用いてカバレッジと成功確率のトレードオフを制御する。
• 各頂点を $ A $ または $ Z $ に確率 $ 1/2 $ で割り当てる確率的ブランチングルール（ルール 1）を適用し、最適解を捕捉する非無視可能な確率を保証する。
• 現在の集合 $ A \cup Z $ が閾値 $ \alpha n $ を超える場合、残りの頂点に対してブルートフォースを用いて決定的精錬ステップ（ルール 4）を適用する。
• 集中度の不等式と確率的補題を用いて、$ A \subseteq X $ かつ $ Z \cap X = \emptyset $ となる確率を抑え、ここで $ X $ は最大の $ d $-稠密部分グラフの頂点集合を表す。
• 定数 $ \lambda, \kappa, c, \alpha $ を最適化し、$ 2 - \varepsilon_d $ のベースを最大化する。各固定された $ d $ に対して $ \varepsilon_d > 0 $ となるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の固定された $ d \geq 1 $ に対して、最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフを求める $ 2^n $ 時間の上限を打ち破ることは可能か？
• RQ2 ある $ \varepsilon_d > 0 $ に対して、包含的意味での最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフの数が $ (2 - \varepsilon_d)^n $ で抑えられるか？
• RQ3 $ (2 - \varepsilon_d)^n $ 時間計算量を保ったまま、アルゴリズムを決定的化できるか？
• RQ4 すべての $ d $ に依存しない普遍的な $ \varepsilon > 0 $ が存在し、問題を $ (2 - \varepsilon)^n n^{\mathcal{O}(1)} $ 時間で解けるか？
• RQ5 この結果を、有界な稠密性を持つ他の多項式時間で識別可能なグラフクラスに一般化できるか？

主な発見

• 任意の固定された $ d \geq 1 $ に対して、定数 $ \varepsilon_d > 0 $ が存在し、最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフを確率的 $ (2 - \varepsilon_d)^n n^{\mathcal{O}(1)} $ 時間で見つけることができる。
• アルゴリズムは、すべての包含的意味での最大の誘導 $ d $-稠密部分グラフが少なくとも $ (2 - \varepsilon_d)^{-n} $ の確率で出力され、その総数が $ (2 - \varepsilon_d)^n $ 未満であることが示される。
• $ d = 1 $ の場合、ベースは $ 2 - \varepsilon_1 \approx 1.99991 $ に達し、$ d $ が増加するにつれて 2 に近づき、$ 2 - \varepsilon_6 \approx 1.999999999999999997 $ に近づく。
• アルゴリズムの成功確率は $ (2 - \varepsilon_d)^{-n} $ で下から抑えられ、これにより $ (2 - \varepsilon_d)^n $ 回の独立した実行で、定数確率で最大解が得られることが保証される。
• この手法は確率的サンプリングと貪欲な除去に依存し、頂点の小さな割合 $ \alpha n $ の処理が終了した後、唯一の最終段階でブルートフォースフェーズを適用する。
• 定数 $ \varepsilon_d $ は非常に小さいが、すべての $ d $ に対して正の値をとり、$ d $-稠密部分グラフにおける $ 2^n $ の壁が実際に破られていることを示している。