[論文レビュー] Finding topological subgraphs is fixed-parameter tractable

Martin Grohe, Ken‐ichi Kawarabayashi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、与えられたグラフ G に対して、固定された無向グラフ H がトポロジカル部分グラフであるかどうかをテストする、固定パラメータ可 tractable（FPT）なアルゴリズムを提示する。実行時間は O(|V(G)|³) である。この手法は、ロバートソン＝セイヤーのグラフマイナー理論、特に構造定理と不要な頂点技術を新たな応用により活用し、立方時間の複雑性を達成する。主な貢献は、|V(H)| をパrameter として、トポロジカル部分グラフテストが FPT であることを示したことにより、長年の未解決問題を解決したことである。

ABSTRACT

We show that for every fixed undirected graph $H$, there is a $O(|V(G)|^3)$ time algorithm that tests, given a graph $G$, if $G$ contains $H$ as a topological subgraph (that is, a subdivision of $H$ is subgraph of $G$). This shows that topological subgraph testing is fixed-parameter tractable, resolving a longstanding open question of Downey and Fellows from 1992. As a corollary, for every $H$ we obtain an $O(|V(G)|^3)$ time algorithm that tests if there is an immersion of $H$ into a given graph $G$. This answers another open question raised by Downey and Fellows in 1992.

研究の動機と目的

• パターングラフ H のサイズをパrameter として、トポロジカル部分グラフテストが固定パラメータ可 tractable であるかどうかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 任意の入力グラフ G に対して、固定されたグラフ H が G のトポロジカル部分グラフであるかどうかを一様に立方時間でテストするアルゴリズムを提供すること。
• 結果をインマERSION包含問題へ拡張し、同じ時間計算量のもとで、インマERSION包含問題が固定パラメータ可 tractable であることを示すこと。
• トポロジカル部分グラフ包含と k-素直パス問題との間の還元を通じて、両者の関係を確立すること。
• ロバートソンとセイヤーのアルゴリズム枠組みが、マイナー検出とは構造的に異なるトポロジカル部分グラフに適応可能であることを示すこと。

提案手法

• マイナー検出のためのロバートソン＝セイヤー枠組みを、トポロジカル部分グラフ検出に適応し、木幅に基づく分解を用いる。
• 高木幅を持つグラフに対して、弱い構造定理を適用し、大きなクリークマイナーまたはフラットなウォールを特定する。
• パスと接続性の構造的解析を用いて、特にフラットなウォール内において、高木幅を持つグラフ内の不要な頂点を特定・削除する。
• 頂点写像を予想し、内部に素直なパスを見つけることで、トポロジカル部分グラフ問題を k-素直パス問題に還元する。
• 頂点を分割し、複製することで、エッジに素直なパス系をモデル化する変換グラフ G′ を構築する。
• G′ に大きなクリークのトポロジカルマイナーが存在することを、インマERSIONの存在の証拠とする。さらに、インマERSION構造を保持するように、新たなグラフ G′′ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パターングラフ H の頂点数をパrameter として、トポロジカル部分グラフテストが固定パラメータ可 tractable であるか？
• RQ2 ロバートソンとセイヤーのマイナー検出のためのアルゴリズム枠組みを、立方時間でトポロジカル部分グラフ包含を解くために適応可能か？
• RQ3 変換されたグラフ G′ に大きなクリークのトポロジカルマイナーが存在することは、元のグラフ G における H のインマERSIONの存在を示唆するか？
• RQ4 グラフ変換を用いて、インマERSION問題をトポロジカル部分グラフテストに還元可能か？
• RQ5 より厳しい頂点に素直な条件を課す強いインマERSION包含問題に対しても、固定パラメータ可 tractable か？

主な発見

• 任意の固定された無向グラフ H に対して、G に対して H がトポロジカル部分グラフであるかどうかをテストする一様な O(|V(G)|³) 時間のアルゴリズムが存在する。
• トポロジカル部分グラフテスト問題は |V(H)| をパrameter として固定パラメータ可 tractable であり、1992 年にダウニーとフェローズが提起した未解決問題を解決した。
• インマERSION包含問題に対しても固定パラメータ可 tractable であり、任意の固定 H に対して O(|V(G)|³) 時間のアルゴリズムが存在する。
• グラフ変換によるインマERSIONからトポロジカル部分グラフテストへの還元は、解の構造を保持し、多項式時間で実行可能である。
• パス系の構造的性質を活用することで、高木幅を持つグラフ、特にフラットなウォール内において、不要な頂点を正しく同定する。
• G′ と G′′ の構築により、G′′ における大きなクリークのトポロジカルマイナーが、G における H のインマERSIONに正確に対応することが保証される。