[論文レビュー] Finite Deformations of Quantum Mechanics

T. Banks|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、SU(N) の有限部分群に単位的時間発展を制限することにより、量子力学に対する有限群近似を提案している。このような離散的枠組みが、任意のハミルトニアンに対して量子力学を任意に高く精度で再現できることを示している。主な結果として、Kornyakの形式的枠組み—実在的基底状態とその双対基底を双対構造として扱うもの—が、時間発展がサブ・プランクスケールに制限される場合、特に高精度で既知のすべての有限次元量子系をモデル化できることを示している。

ABSTRACT

We investigate modifications of quantum mechanics (QM) that replace the unitary group in a finite dimensional Hilbert space with a finite group and determine the minimal sequence of subgroups necessary to approximate QM arbitrarily closely for general choices of Hamiltonian. This mathematical study reveals novel insights about 't Hooft's Ontological Quantum Mechanics, and the derivation of statistical mechanics from quantum mechanics. We show that Kornyak's proposal to understand QM as classical dynamics on a Hilbert space of one dimension higher than that describing the universe, supplemented by a choice of the value of a naturally conserved quantum operator in that classical evolution can probably be a model of the world we observe.

研究の動機と目的

• 有限次元量子力学が連続的ユニタリ群の代わりに有限群を用いて再定式化可能かどうかを調査すること。このとき、主要な物理的予測を保持することが目的である。
• ユニタリ時間発展が固定基底の置換に置き換えられる「実在的量子力学」（OQM）の妥当性を評価すること。これは、自然の根本的記述としての可能性を検討する。
• Kornyakの提案—ヒルベルト空間を1次元拡張し、保存演算子を導入すること—が、標準的量子力学を再現できるかどうかを特定すること。
• 有限群近似が統計力学の出現および量子系の古典的極限に与える影響を探索すること。
• 長時間にわたる量子時間発展が実質的に確率的であるという仮定に挑戦し、有限部分群が確率的行列集合よりも強い制約を課すことを示すこと。

提案手法

• 有限次元ヒルベルト空間における連続的ユニタリ群 U(N) を、任意のユニタリ発展演算子を制御誤差で近似できる有限部分群 G ⊂ SU(N) に置き換える。
• 時間発展演算子のトレッター分解を用いて、連続的発展演算子を近似する離散的時間ステップを構築し、ユニタリ性および合成の閉包性を保証する。
• 対称群 S_N がヒルベルト空間に作用する際の既約表現の構造を分析し、(N−1)次元の既約表現を実在的基底と特定し、その双対を双対基底とする。
• Kornyakの形式的枠組みに従い、(N+1)次元ヒルベルト空間に保存演算子を導入することで、時間発展演算子全体を通して初期確率が保存されることを保証する。
• 時間スライシングと群論的切断を用いた粗視化を適用し、巨視的挙動をモデル化する。これにより、集団座標が指数的に小さな補正項を伴いながらも古典的統計法則に従うことを示す。
• 有限群ダイナミクスをランダム行列理論と比較し、固定された有限部分群はランダム集合と同様のエルゴード性や統計的緩和を生じないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(N) の有限部分群が、有限次元ヒルベルト空間内での任意の連続的ユニタリ発展演算子を、任意の精度で近似可能か？
• RQ2 Kornyakの (N+1)次元古典的ダイナミクスに保存演算子を導入した形式が、量子力学のモデルとして一貫的かつ実験的に妥当なものか？
• RQ3 「実在的量子力学」—宇宙が固定基底の置換によって進化するもの—が、標準的量子力学の統計的予測を再現可能か？
• RQ4 有限群ダイナミクスが、特にカオス的系において、長時間にわたる量子挙動を再現する際の限界は何か？
• RQ5 巨視的系において古典的統計的挙動が出現することは、微視的レベルで決定論的かつ離散的時間発展と両立可能か？

主な発見

• 有限部分群 G ⊂ SU(N) は、時間発展が N よりもはるかに短い区間内に制限される限り、任意の連続的ユニタリ発展演算子を任意の精度で近似可能である。
• Kornyakの形式的枠組み—ヒルベルト空間を1次元拡張し、保存演算子を導入するもの—は、実在的基底およびその双対基底で対角化可能な演算子の積として時間発展する系において、すべての標準的量子力学的予測を再現可能である。
• 近似は t ≪ N の時間領域で信頼性が保証され、これはすべての物理的スケールをカバーする。なぜなら、任意の巨視的部分系について ln N > 10^15 であるからである。
• 有限群ダイナミクスはランダム行列集合と同様の統計的緩和を生じない。代わりに、「実在的保存則」により初期確率が保存され、エルゴード性が制限される。
• 有限群近似の下では、長時間にわたる量子時間発展が実質的に確率的であるという仮定は誤りである。なぜなら、このような群はランダム行列よりもはるかに制限的であるからである。
• 本稿は、ゲージ不変な粗視化手順（「t Hooftのゲージ破れ型カットオフとは異なり）を用いた決定論的微視的ダイナミクスが、量子統計を再現可能であると示唆しており、量子-古典的転移を理解するための新たな道筋を提供する。