[論文レビュー] Finite Element Approximations for Semilinear Elliptic SPDEs driven by Fractional Brownian Motion with Hurst Parameter $H<\frac{1}{2}$

Yanzhao Cao, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Hurstパラメータ H < 1/2 を持つ分数 Browm運動によって駆動される1次元非線形楕円型SPDEを解くための有限要素法を提案する。分数ノイズを区分的定数近似に置き換え、厳密な収束解析を活用することで、得られる数値スキームの誤差推定を確立し、このクラスの不規則なSPDEに対して適切に定義され収束する近似フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We consider finite element approximations for one dimensional boundary value problems of semilinear elliptic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H<1/2$ based on the well-posedness of the problem. We make use of a sequence of approximate solutions with the fractional Brownian noise replaced by its piecewise constant discretization to construct the finite element approximations of the SPDEs. The error estimate of the approximations is derived through rigorous convergence analysis.

研究の動機と目的

• Hurstパラメータ H < 1/2 の分数 Browm 運動によって駆動される非線形楕円型SPDEに対して、安定かつ収束する有限要素法を開発すること。
• H < 1/2 に起因するノイズ過程の不規則性に起因する、標準的な確率積分の手法が不成立となる課題に対処すること。
• 分数 Browm 運動をその区分的定数離散化に置き換えることで、近似解の系列を構築すること。
• 収束解析を通じて、有限要素近似に対する厳密な誤差推定を確立すること。
• 数値近似の基礎となるSPDE問題の適切な定式化（well-posedness）を保証すること。

提案手法

• SPDEにおける分数 Browm 運動を時間分割上で区分的定数近似に置き換えることで、数値的取り扱いを可能にする。
• 空間メッシュ上に有限要素空間を構築し、SPDEに現れる楕円型作用素を離散化する。
• 得られる離散問題をGalerkin法により解き、確率的代数方程式系を得る。
• 適切な確率的およびSobolev型ノルムにおける収束解析を実施し、誤差バウンドを導出する。
• 解析は、元のSPDEの適切な定式化（存在・一意性の保証）に依存する。
• 有限要素解と正確な解との比較を通じて誤差推定を導出し、空間離散化およびノイズ離散化の両方の誤差を考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H < 1/2 の分数 Browm 運動によって駆動される非線形楕円型SPDEを解くための有限要素法は、どのように適合可能か？
• RQ2 ノイズが H < 1/2 に起因して不規則な場合、有限要素近似の収束性はどのように振る舞うか？
• RQ3 分数ノイズの区分的定数近似は、このようなSPDEに対して安定かつ高精度な数値スキームを提供できるか？
• RQ4 非マルコフ的かつ非半マルティンゲールな設定下で、有限要素解に対して厳密に確立可能な誤差バウンドは何か？
• RQ5 空間的および時間的離散化の選択は、数値解の収束速度にどのように影響するか？

主な発見

• 区分的定数ノイズ近似を用いた有限要素法は、H < 1/2 の非線形楕円型SPDEに対して収束するスキームを提供する。
• 有限要素近似の誤差推定は、適切な確率的ノルムにおける厳密な収束解析を通じて導出される。
• 本手法は、元のSPDEが適切に定式化されているという仮定の下で有効である。この仮定は、成立すると想定される。
• 収束解析は、空間離散化および分数ノイズの近似の両方を考慮する。
• 誤差バウンドは、分数 Browm 運動の区分的定数近似に用いられるメッシュサイズおよび時間刻みに依存する。
• 本手法は、標準的な Itô 積分が適用できない粗い分数 Browm 運動によって駆動されるSPDEに対して、実用的な数値フレームワークを提供する。