[論文レビュー] Finite group actions on Lagrangian Floer theory

Cheol‐Hyun Cho, Hansol Hong|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可換な群作用を持つシンプレクティック多様体およびラグランジュ部分多様体に対して、有限群作用をラグランジュフローリエ理論に拡張する。スピンプロファイルと呼ばれる群コホモロジー類 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ を、群作用をスピン構造へ拡張する際の障害として導入し、$s$-等変フクヤカテゴリおよびオーロラバンクトフクヤ＝セイデルカテゴリを定義することで、群作用を含む精査されたホモロジー的ミラー双対性の枠組みを可能にする。

ABSTRACT

We construct finite group actions on Lagrangian Floer theory when symplectic manifolds have finite group actions and Lagrangian submanifolds have induced group actions. We first define finite group actions on Novikov-Morse theory. We introduce the notion of a {\em spin profile} as an obstruction class of extending the group action on Lagrangian submanifold to the one on its spin structure, which is a group cohomology class in $H^2(G;\Z/2)$. For a class of Lagrangian submanifolds which have the same spin profiles, we define a finite group action on their Fukaya category. In consequence, we obtain the $s$-equivariant Fukaya category as well as the $s$-orbifolded Fukaya category for each group cohomology class $s$. We also develop a version with $G$-equivariant bundles on Lagrangian submanifolds, and explain how character group of $G$ acts on the theory. As an application, we define an orbifolded Fukaya-Seidel category of a $G$-invariant Lefschetz fibration, and also discuss homological mirror symmetry conjectures with group actions.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体およびラグランジュ部分多様体における有限群作用を、それらのフローリエ的不変量へ拡張すること。
• ラグランジュ部分多様体上のスピン構造への群作用の拡張の障害を特定し、$H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ におけるコホモロジー類として記述すること。
• 同一のスピンプロファイルを持つラグランジュ部分多様体に対して、シードルの等変構成を一般化した $s$-等変フクヤカテゴリを構成すること。
• $G$-不変なレフシェッツファイブレーションに対して、$G$-等変 $A_{\infty}$-構造およびオーロラバンクトフクヤ＝セイデルカテゴリを構築すること。
• $\mathbb{C}P^2$ における $\mathbb{Z}/3$-作用に関して、等変 $A$-ブレーンと $B$-ブレーンの比較を通じてホモロジー的ミラー双対性を検証すること。

提案手法

• エネルギー零部分群と $G$-作用を備えたノヴィコフ被覆を用いて $G$-ノヴィコフ理論を定義し、$G$-等変フローリエ複体を構成する。
• スピンプロファイルを $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ におけるクラスとして導入し、ラグランジュ部分多様体上のスピン構造への群作用の拡張の障害を測定する。
• $G$-等変 $A_{\infty}$-作用 $m_k(gx_1,\dots,gx_k) = g m_k(x_1,\dots,x_k)$ を満たす $G$-等変バージョンのフクヤカテゴリとして $s$-等変フクヤカテゴリを構成する。
• $G$-等変 $A_{\infty}$-バイモジュールを構築し、ラグランジュ部分多様体上の $G$-等変平坦 bundle を組み込んで、カテゴリ構造を豊かにする。
• $G$-不変なレフシェッツファイブレーションに対して、$G$-等変摂動データとオーロラバンクトノヴィコフ環を用いてオーロラバンクトフクヤ＝セイデルカテゴリを定義する。
• 群作用の連続性を用いて、正則ファイバー上の $G$-作用と特異ファイバー上の作用を関連づけ、特異性の導来カテゴリにおける比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体およびラグランジュ部分多様体上の有限群作用は、どのようにそれらのフローリエ的不変量へ拡張可能か？
• RQ2 ラグランジュ部分多様体上の群作用をそのスピン構造へ拡張する際の障害は何か？ そしてそれはどのように記述されるか？
• RQ3 与えられたコホモロジー類 $s \in H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ に対して、$s$-等変フクヤカテゴリを定義できる条件は何か？
• RQ4 $G$-不変なレフシェッツファイブレーションのフクヤ＝セイデルカテゴリにおける $G$-作用は、ミラー双対性とどのように関係するか？
• RQ5 $\mathbb{Z}/3$-不変な $A$-ブレーンをもつ $\mathbb{C}P^2$ における、フローリエコホモロジーの $G$-不変部の構造は何か？

主な発見

• スピンプロファイルは $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$ におけるクラスとして、ラグランジュ部分多様体上の $G$-作用をそのスピン構造へ拡張する際の障害である。
• 同一のスピンプロファイルを持つラグランジュ部分多様体に対して、$G$-等変 $A_{\infty}$-作用 $m_k(gx_1,\dots,gx_k) = g m_k(x_1,\dots,x_k)$ を満たす $s$-等変フクヤカテゴリを定義可能である。
• $\mathbb{C}P^2$ における $\mathbb{Z}/3$-作用の例では、$HF(T,T)$ の $G$-不変部は次数 0 でランク 2、次数 1 でランク 0 であり、非自明な 1-形式は保存されない。
• 特異性の導来カテゴリ $D^b_{\text{sing}}(W^{-1}(3))$ は $\mathbb{Z}/3$-不変な対象 $\mathcal{F}$ を持ち、$R\text{Hom}(\mathcal{F},\mathcal{F})$ の $\mathbb{Z}/3$-不変な偶数次元部はランク 2、奇数次元部は自明である。
• $\mathbb{Z}/3$-作用は $\mathbb{C}P^2$ からフクヤ＝セイデルカテゴリへ引き継がれ、ホロノミー $(1,1)$ を持つ $A$-ブレーン $T$ は、ミラー双対性と整合する $G$-不変なフローリエコホモロジー構造を持つ。
• $R\text{Hom}^{1}(Ax\oplus Ay,Ax\oplus Ay)$ の $G$-不変部は、生成子 $x$ および $y$ における $\mathbb{Z}/3$ の非自明な作用のため、消える。