[論文レビュー] Finite N from Resurgent Large N

Ricardo Couso-Santamaría, Ricardo Schiappa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、ゲージ理論における漸近的で大$N$の展開を、ボレル非summabilityおよびストークス現象を克服することで、非摂動的で有限$N$の結果に完全に完成させる、再発展したトランスシリーズ枠組みを導入する。摂動的および非摂動的（インスタントン）データをトランスシリーズに統合することで、四次行列模型における解析的有限$N$結果を高い数値精度で正確に再現可能となり、複素$N$への解析接続が可能になる。主な貢献は、トランスシリーズのリジューレンスを用いて、大$N$展開から正確な有限$N$物理を体系的に抽出する方法である。

ABSTRACT

Due to instanton effects, gauge-theoretic large N expansions yield asymptotic series, in powers of 1/N^2. The present work shows how to generically make such expansions meaningful via their completion into resurgent transseries, encoding both perturbative and nonperturbative data. Large N resurgent transseries compute gauge-theoretic finite N results nonperturbatively (no matter how small N is). Explicit calculations are carried out within the gauge theory prototypical example of the quartic matrix model. Due to integrability in the matrix model, it is possible to analytically compute (fixed integer) finite N results. At the same time, the large N resurgent transseries for the free energy of this model was recently constructed. Together, it is shown how the resummation of the large N resurgent transseries matches the analytical finite N results up to remarkable numerical accuracy. Due to lack of Borel summability, Stokes phenomena has to be carefully taken into account, implying that instantons play a dominant role in describing the finite N physics. The final resurgence results can be analytically continued, defining gauge theory for any complex value of N.

研究の動機と目的

• ゲージ理論における大$N$展開の漸近的で非摂動的有限$N$結果を抽出するという長年の課題に取り組む。
• 標準的な再結合法が無効となる、大$N$ジュニア展開におけるボレル再結合不能性およびストークス現象の崩壊を解消する。
• 摂動的および非摂動的（インスタントン）寄与を統合する完全なトランスシリーズを構築し、正確な有限$N$計算を可能にする。
• 四次行列模型における解析的に計算された有限$N$結果との一致を通じて、この手法の正確性を示す。
• 再発展したトランスシリーズ枠組みを用いて、ゲージ理論的観測量を複素$N$へ解析接続可能にする。

提案手法

• 自由エネルギーのための大$N$再発展トランスシリーズを構築し、摂動的ジュニア展開と、$\sim e^{-N A(t)}$のオーダーの非摂動的インスタントン補正を組み込む。
• 形式 $ F(N,t) = \sum_g N^{2-2g} F_g^{(0)}(t) + \sigma e^{-NA(t)} \sum_g N^{-g} F_g^{(1)}(t) + \cdots $ のトランスシリーズアンサッツを用いる。ここで$\sigma$はインスタントンセクターを表す。
• 摂動的係数 $F_g^{(0)}(t)$ は、行列模型のループ方程式から導かれる微分方程式を、$r$に関する多項式アンサッツを用いて解くことで計算する。
• 非摂動的係数 $F_g^{(n)}(t)$（$n \geq 1$）は、同じループ方程式から導かれる代数方程式を解き、$r$に関する有理関数および多項式を含むアンサッツを用いる。
• 自由エネルギーのトランスシリーズを数値的に再結合した後、指数関数をとることで分配関数を得る。これにより、直接的な指数関数化による計算の非効率性を回避する。
• すべてのインスタントンセクターを含めることでストークス現象に対応し、正しい解析接続と正確な有限$N$結果との一致を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ理論における大$N$展開が階乗発散およびボレル再結合不能性を示す中で、体系的に非摂動的有限$N$結果に完成させることは可能か？
• RQ2 標準的再結合法が失敗する状況において、インスタントン効果およびストークス現象が有限$N$物理にどのように支配的役割を果たすか？
• RQ3 可積分な行列模型において、再発展トランスシリーズ枠組みが解析的に知られた有限$N$結果を正確に再現できるか？
• RQ4 ボレル再結合と正確な有限$N$値との不一致に、複素D2ブレーンインスタントンが果たす役割は何か？
• RQ5 再発展トランスシリーズを用いて、ゲージ理論的観測量を複素$N$に解析接続することは可能か？

主な発見

• 四次行列模型における自由エネルギーの大$N$再発展トランスシリーズは、有限$N$結果を驚異的な数値精度で再現し、この手法の妥当性を裏付けた。
• 標準的ボレル再結合では見えない非摂動的インスタントン効果を、特にストークス現象が再結合を失敗させる状況においても、この手法は的確に捉えている。
• 複数のインスタントンセクター（$n=1,2,3$）の寄与を含み、$n=0$では$g_{\text{max}} = 130$、$n=1,2,3$では$g_{\text{max}} = 50$まで係数$F_g^{(n)}(t)$を計算した。
• 最初のいくつかの非摂動的係数、例えば$\mathcal{F}^{(1)}_0$、$\mathcal{F}^{(1)}_1$、$\mathcal{F}^{(2)}_0$、$\mathcal{F}^{(3)}_1$について、$\lambda$および$r$を用いた明示的な解析的表現が導出された。
• 再発展トランスシリーズにより、自由エネルギーを複素$N$へ解析接続可能であり、ゲージ理論が任意の複素ランクで定義可能であることを示した。
• 分配関数のトランスシリーズを直接計算するのではなく、自由エネルギーのトランスシリーズを最初に再結合することで、計算の非効率性を回避し、直接的な方法よりも高次の計算が可能になった。