[論文レビュー] Finite size effect on dynamical entanglement entropy: CFT and holography

Gautam Mandal, Ritam Sinha+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、量子クイエンチ後における空間的境界を持つ2次元 conformal field theory (CFT) における動的エンタングルメントエントロピー (EE) の有限サイズ効果を調査する。共形場理論とホログラフィーを用いて、EEが周期的リバイバルを示し、周期 $ L $ で繰り返われ、初期状態の温度 $ 1/\beta $ によって決定される値に熱平衡化することを示す。また、大中心電荷極限では、CFTのEEは普遍的になり、正確にホログラフィックEEと一致する。双対なバルク幾何学は、$ L/\beta $ の比に応じてBTZブラックホールとグローバルAdSの間を補間する。

ABSTRACT

Time-dependent entanglement entropy (EE) is computed for a single interval in two-dimensional conformal theories from a quenched initial state in the presence of spatial boundaries. The EE is found to be periodic in time with periodicity equal to the system size $L$. For large enough $L$, the EE shows a rise to a thermal value (characterized by a temperature $1/β$ determined by the initial state), followed by periodic returns to the original value. This works irrespective of whether the conformal field theory (CFT) is rational or irrational. For conformal field theories with a holographic dual, the large $c$ limit plays an essential role in ensuring that the EE computed from the CFT is universal (independent of the details of the CFT and of boundary conditions) and is exactly matched by the holographic EE. The dual geometry is computed and it interpolates between a BTZ black hole at large $L$ and global AdS at large $β$.

研究の動機と目的

• 空間的境界と有限系サイズ $ L $ が、2次元CFTにおける量子クイエンチ後のエンタングルメントエントロピー (EE) の時間発展に与える影響を理解すること。
• 有限系において、動的EEが周期的リバイバルと熱平衡化を示すかどうかを、特に有理的および無理的CFTにおいて調査すること。
• 大中心電荷 ($ c \to \infty $) 極限におけるEEの普遍性を確立し、ホログラフィック計算と正確に一致する条件を特定すること。
• 大 $ c $ 極限における双対バルク幾何学を導出し、$ L/\beta $ の比に応じてBTZブラックホールとグローバルAdSの間を補間することを示すこと。

提案手法

• 境界を持つ有限空間区間を共形写像により上半平面に写像し、ストリップ上の経路積分を用いて時間順相関関数およびEEを計算可能にする。
• CFTの相関関数およびエンタングルメントエントロピー計算における境界効果を扱うために、鏡像法を適用する。
• 大 $ c $ 極限を用いることで、CFTの詳細や境界条件に依存しないEEの普遍性を保証する。
• CFTの大 $ c $ 極限からホログラフィック双対幾何学を導出し、度々BTZブラックホール（大 $ L $）とグローバルAdS（大 $ \beta $）の間を補間する計量を得る。
• バルクにおけるRyu-Takayanagiの公式を用いてエンタングルメントエントロピーを計算し、大 $ c $ 極限でCFTの結果と正確に一致することを示す。
• 共形ブートストラップ技術を用いて、さまざまな領域におけるEEの時間発展を分析する：大 $ L/\beta $（熱平衡化と周期性）、低 $ L/\beta $（高温）、普遍極限。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的境界が、2次元CFTにおける量子クイエンチ後のエンタングルメントエントロピーの時間発展に与える影響は何か？
• RQ2 有限系においてエンタングルメントエントロピーは周期的リバイバルを示すか？ もし示すならば、リバイバル周期は何かによって決定されるか？
• RQ3 CFTにおける動的エンタングルメントエントロピーが、どのような条件下で普遍的になり、ホログラフィック予測と一致するか？
• RQ4 大中心電荷極限における双対バルク幾何学は何か？ また、$ L/\beta $ の比に応じて、BTZブラックホールとグローバルAdSの間をどのように補間するか？
• RQ5 有限境界および周期的境界条件の下で、エンタングルメント伝播の準粒子像はどのように修正されるか？

主な発見

• エンタングルメントエントロピー (EE) は、CFTが有理的か無理的かにかかわらず、時間に対して周期的であり、周期は系サイズ $ L $ に等しい。
• 大 $ L $ の場合、EEは初期状態の温度 $ 1/\beta $ によって特徴づけられる熱的値に最初に上昇し、その後初期値に戻る周期的リバイバルを示し、熱平衡化とリバイバルの両方を示している。
• 大中心電荷 ($ c \to \infty $) 極限では、CFTのEEは普遍的になり、正確にホログラフィックEEと一致する。これは、この動的状況下でのAdS/CFT対応の妥当性を確認する。
• 双対バルク幾何学は、$ L/\beta $ の比に応じて、BTZブラックホール（大 $ L $ の極限）とグローバルAdS（大 $ \beta $ の極限）の間を補間する。
• 高温極限（$ L/\beta \gg t/\beta \gg 1 $）における1点関数の減衰率は、無限ストリップの結果と一致し、既知の熱平衡化率と整合的であることを確認する。
• ホログラフィックエンタングルメントエントロピー (hEE) はCFTのEEと周期性を共有し、hEEの時間発展はCFTと同一の共形構造に従い、大 $ c $ 極限で正確に一致する。