[論文レビュー] Finite time blow-up for the nematic liquid crystal flow in dimension two

Chen‐Chih Lai, Fanghua Lin+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元の簡略化されたネマチック液晶流れに対して、独創的な内側・外側の接合法を用いて、有限時間 blow-up 解を構成する。任意に指定された有限個の点で同時に blow-up する解の存在を証明し、blow-up 時刻に近い部分での明確な漸近的プロファイルを特定する。

ABSTRACT

We consider the initial-boundary value problem of a simplified nematic liquid crystal flow in a bounded, smooth domain $Ω\subset \mathbb R^2$. Given any $k$ distinct points in the domain, we develop a new {\em inner--outer gluing method} to construct solutions which blow up exactly at those $k$ points as $t$ goes to a finite time $T$. Moreover, we obtain a precise description of the blow-up.

研究の動機と目的

• 2次元有界領域における簡略化されたネマチック液晶流れに対して、有限時間 blow-up 解の存在を確立すること。
• 領域内の任意に指定された有限個の相異なる点に正確に blow-up する解を構成すること。
• blow-up 時刻 T に近い部分における blow-up プロファイルの明確な漸近的記述を提供すること。
• 内側・外側の接合法を、ナビエ–ストークス方程式と調和写像熱方程式の連立系に拡張すること。

提案手法

• 連立したネマチック液晶流れ系に特化した、新しい内側・外側の接合法を開発し、調和写像熱方程式とナビエ–ストークス方程式の解を組み合わせる。
• 解 u を k 個の局在的プロファイル U_j（それぞれ blow-up 点に対応）と、内側領域および外側領域における補正項に分解する多スケールの仮定を用いる。
• k 個の内側問題（blow-up 点の近傍で局在化）と、空間全体にわたる1つの外側問題を解き、内側・外側の境界で一致条件を満たす。
• 重み付き関数空間において適切に構築された重み付きノルムを用い、シューディンガー型の固定点定理（Schauder の固定点定理）を適用して、必要な減衰性および正則性条件を満たす解の存在を証明する。
• ストークス系の線形推移作用素に対して重み付きノルムと線形推移推移推移を用い、ナビエ–ストークス部の制御を図り、非線形項 v·∇v を低次の摂動とみなす。
• ストークス系の線形理論を用いた摂動的議論を実施し、blow-up 境界における小さな項の推移を精密に制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ネマチック液晶流れに対して、指定された blow-up 位置を持つ有限時間 blow-up 解を構成することは可能か？
• RQ2 このような解について、blow-up 時刻 T に近い部分における解の明確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 内側・外側の接合法は、2次元におけるナビエ–ストークス方程式と調和写像熱方程式の連立系に適応可能か？
• RQ4 速度場 v は blow-up 境界でどのように振る舞い、強い非線形性が存在する中で線形ストークス作用素によって制御可能か？
• RQ5 複数の相異なる点に同時に blow-up する解を、制御可能なプロファイルで構成することは可能か？

主な発見

• 著者らは、有界で滑らかな領域 Ω ⊂ ℝ² 内の任意に指定された有限個の相異なる点 k 個に正確に blow-up する、簡略化されたネマチック液晶流れの解を構成した。
• blow-up は有限時間 T > 0 に発生し、各 blow-up 点の近傍で明確な漸近的プロファイルを示す。スケーリングとして λ_j(t) ∼ κ_j(T−t)/|log(T−t)|²（κ_j > 0）が成り立つ。
• 速度場 v は適切な重み付き L^∞ 空間において制御可能であり、ネマチック弾性項からの駆動力に比べ、非線形項 v·∇v は低次の摂動とみなせる。
• 解は、Schauder の固定点定理と Arzelà–Ascoli のコンパクト性を活用した、慎重に選ばれた関数空間における固定点議論によって構成された。
• k 個の内側問題と1つの外側問題を同時に解くことで、複数の blow-up 点への応用が可能であり、一貫性のある一致条件および減衰推移が得られる。
• 調和写像熱方程式とナビエ–ストークスの結合を処理する、新たな接合スキームに依拠しており、単一バブル blow-up の既存結果を一般化する。