[論文レビュー] Finiteness of cohomology of local systems on rigid analytic spaces

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$p$-進体上の滑らかでコンパクトなrigid analytic空間上の、エタール $\mathbb{Q}_p$-局所系統のコホモロジー群の有限次元性を、pro-étale位相における相対的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の新しい枠組みを用いて確立する。主な結果は、$H^i(X,V)$ が $\mathbb{Q}_p$-ベクトル空間として有限次元であり、$K$ が代数的に閉じている場合 $i > 2\dim(X)$、$K$ が $\mathbb{Q}_p$ の有限拡張である場合 $i > 2\dim(X)+2$ で消えることである。これは、代数的幾何学を超えた解析的局所系統へのシュールツェの比較同型を拡張する。

ABSTRACT

We prove that the cohomology groups of an etale Q_p-local system on a smooth proper rigid analytic space are finite-dimensional Q_p-vector spaces, provided that the base field is either a finite extension of Q_p or an algebraically closed nonarchimedean field containing Q_p. This result manifests as a special case of a more general finiteness result for the higher direct images of a relative (phi, Gamma)-module along a smooth proper morphism of rigid analytic spaces over a mixed-characterstic nonarchimedean field.

研究の動機と目的

• 滑らかでコンパクトなrigid analytic多様体 $X$ について、$p$-進体上に定義された $\mathbb{Q}_p$-局所系統のエタールコホモロジー群の有限次元性を確立すること。
• Scholzeの $p$-進比較同型を、$\mathbb{Z}_p$-局所系統から生じない解析的局所系統（例えば、テートの均一化から生じるようなもの）へ拡張すること。
• 滑らかでコンパクトなrigid analytic空間の間の準同型に関する、相対的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の高次直接像の一般理論を構築すること。
• $\mathbb{Q}_p$-局所系統に対して、相対的エタール-ド・ラーム比較同型を確立すること。これは、従来の $\mathbb{Z}_p$-局所系統に制限されていた結果を一般化する。

提案手法

• pro-étale位相とperfectoid空間を用いて、フロベニウス作用 $\varphi$ とガロア作用 $\Gamma$ を持つ $p$-進周期層 $\tilde{\mathbf{C}}$ を構成し、コホモロジーの加群論的再定式化を可能にする。
• $\tilde{\mathbf{C}}$ とのテンソル積を用いて $\mathbb{Q}_p$-局所系統を相対的 $(\varphi,\Gamma)$-加群に翻訳し、コホモロジーを複体 $\mathcal{F} \xrightarrow{\varphi - 1} \mathcal{F}$ のハイパーコホモロジーとして計算可能にする。
• Banach空間における完全連続なホモモーティズムのカルタン＝セールの方法を適用して有限次元性を証明し、ネーター的仮定に依存しない。
• 高次直接像が基底変換と可換であり、かつド・ラーム $(\varphi,\Gamma)$-加群がコンパクトな押し出しのもとで保存されることを確立する。
• $(\varphi,\Gamma)$-加群のド・ラーム条件を用いて、コホモロジーとド・ラームコホモロジーを $D_{\operatorname{dR}}(\mathcal{F})$ を通じて関連付け、$R^if_*D_{\operatorname{dR}}(\mathcal{F})$ と $D_{\operatorname{dR}}(R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F})$ の間の同型を証明する。
• pro-étale設定におけるアーティン＝シュライエル列を適用し、$V$ のコホモロジーと関連する $(\varphi,\Gamma)$-加群 $\mathcal{F}$ のコホモロジーを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進体上に定義された滑らかでコンパクトなrigid analytic空間 $X$ 上のエタール $\mathbb{Q}_p$-局所系統 $V$ に対して、コホモロジー群 $H^i(X,V)$ は $\mathbb{Q}_p$ 上で有限次元か？
• RQ2 有限次元性の結果は、$\mathbb{Z}_p$-局所系統から生じない $\mathbb{Q}_p$-局所系統（例えば、テートの均一化から生じるようなもの）に対しても拡張可能か？
• RQ3 エタール-ド・ラーム比較同型は、$\mathbb{Z}_p$-局所系統に制限されていたものを、rigid analytic設定において $\mathbb{Q}_p$-局所系統へ一般化可能か？
• RQ4 滑らかでコンパクトな準同型に沿った相対的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の高次直接像は、有限次元性とド・ラーム性質を保存するか？
• RQ5 $\mathcal{F}$ のpro-étaleコホモロジーと $R^if_*\mathcal{F}$ のド・ラームコホモロジーを結ぶ相対的比較同型は存在するか？

主な発見

• 代数的に閉じた非アーチメデス的体 $K$ で $\mathbb{Q}_p$ を含む場合、滑らかでコンパクトなrigid analytic空間 $X$ に対して、コホモロジー群 $H^i(X,V)$ は $\mathbb{Q}_p$-ベクトル空間として有限次元であり、$i > 2\dim(X)$ で消える。
• $K$ が $\mathbb{Q}_p$ の有限拡張である場合、コホモロジー群 $H^i(X,V)$ は $\mathbb{Q}_p$-ベクトル空間として有限次元であり、$i > 2\dim(X) + 2$ で消える。
• 滑らかでコンパクトな準同型 $f: Y \to X$ 沿いの相対的 $(\varphi,\Gamma)$-加群 $\mathcal{F}$ の高次直接像 $R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F}$ は、$\tilde{\mathbf{C}}^{[s,r]}_X$ 上で有限次元であり、ド・ラーム条件を保存する。
• 自然な準同型 $R^if_*D_{\operatorname{dR}}(\mathcal{F}) \to D_{\operatorname{dR}}(R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F})$ は同型であり、相対的エタール-ド・ラーム比較を確立する。
• $V$ のコホモロジーは、$R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F}$ の $\varphi$-不変部分に同型であり、すなわち $R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}V \cong (R^if_{\operatorname{pro\acute{e}t}*}\mathcal{F})^{\varphi=1}$ である。これはコホモロジーの加群論的計算を可能にする。
• 滑らかな $X$ に対して、$R^if_*\Omega^j_{Y/X}$ はベクトル束である。これは、$V = \underline{\mathbb{Q}_p}$ の自明な局所系統に比較同型を適用することで示される。