[論文レビュー] First applications of generalized Li's criterion to study the Riemann zeta-function zeroes location

S. K. Sekatskiǐ|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

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ひとこと要約

本稿では、リーマン予想（RH）と同値である、新たに一般化されたリーの基準を用いて、ゼータ関数の非自明な零点の位置を分析する。任意の正の整数 n に対して、bₙ という閾値が存在し、すべての m ≤ n および b > bₙ に対して一般化リー和が非負のままであることを証明する。また、RH の下でこれらの和の漸近的公式を導出し、零点分布を研究する新たな解析的アプローチを提供する。

ABSTRACT

We present the first applications of the recently established by us (arXiv:1304.7895; Ukrainian Math. J. - 2014. -66. - P. 371-383) generalized Li's criterion equivalent to the Riemann Hypothesis. This criterion is the statement that the Riemann hypothesis is equivalent to the non-negativity of the derivatives 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln(ξ(z))) for z=b+1 of the Riemann xi-function for all real b>-1/2 and all m = 1, 2, 3... We show that for any positive integer n there is such value of b_n (depending on n) that for all m<=n and b>b_n, inequality 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln(ξ(z))) for z=b+1 >=0 does hold true. Assuming RH, we also have found an asymptotic of the generalized Li's sums over non-trivial Rieman zeroes for large n, and discuss what asymptotic of 1/((m-1)!)*d^m/dz^m((z+b)^(m-1)*ln((z-1)*(ζ(z))) at the point z+b+1 is required for the Riemann hypothesis holds true.

研究の動機と目的

• リーマン予想と同値である最近確立された一般化リー基準を、リーマンゼータ関数の非自明な零点の位置を分析するために適用すること。
• 任意の与えられた n に対して、すべての m ≤ n および b > bₙ に対して一般化リー和が非負のままであるような bₙ が存在することを示すこと。
• リーマン予想を仮定した下で、非自明な零点に関する一般化リー和の漸近的表現を導出すること。
• リーマン予想が成り立つために必要な、完成ゼータ関数の対数微分の特定の導関数の漸近的挙動を同定すること。

提案手法

• 本稿では、すべての m ≥ 1 および実数 b > -1/2 に対して、z = b + 1 における (z + b)^(m-1) * ln(ξ(z)) の m 階微分の非負性として定式化された一般化リー基準を用いる。
• パラメータ b を導入することで、臨界線付近における xi 関数の振る舞いを正則化し、高階微分の解析を可能にする。
• 著者らは、リーマン予想を仮定した下で一般化リー和の漸近的挙動を分析し、大きな n に対して明示的な漸近的公式を導出する。
• 一般化基準が要求する非負性条件を満たすために必要な、z = b + 1 における (z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z)) の m 階微分の漸近的成長を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた正の整数 n に対して、すべての m ≤ n および b > bₙ に対して一般化リー和が非負のままであるような閾値 bₙ が存在するか？
• RQ2 リーマン予想を仮定した下で、n → ∞ のときのゼータ関数の非自明な零点に関する一般化リー和の漸近的挙動は何か？
• RQ3 リーマン予想が成り立つために必要な、z = b + 1 における (z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z)) の m 階微分の漸近的条件は何か？
• RQ4 パラメータ b を含む一般化リー基準は、リーマン予想の古典的リー基準をどのように精緻化または拡張するか？

主な発見

• 任意の正の整数 n に対して、実数 bₙ が存在し、すべての m ≤ n およびすべての b > bₙ に対して一般化リー和が非負のままである。
• リーマン予想を仮定した下で、非自明な零点に関する一般化リー和は、n → ∞ のとき特定の漸近的成長パターンを示す。
• 本稿では、n および非自明な零点の虚部を用いて、一般化リー和の明示的な漸近的公式を導出する。
• リーマン予想が成り立つために必要な、z = b + 1 における (z + b)^(m-1) * ln((z - 1)ζ(z)) の m 階微分の漸近的挙動が、必要条件として同定された。