[論文レビュー] First cohomology of pure mapping class groups of big genus one and zero surfaces

George Domat, Paul Plummer|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限型の genus one の表面の純写像類群の1次整係数コホモロジーが自明であることを証明している。一方、genus zero の表面に対しては、有限型の穴あき球面へ因数分解しないような ℤ への無限大族の準同型を構成しており、すべてのこのようなコホモロジー類が有限型部分表面から来ることではないことを示している。

ABSTRACT

We prove that the first integral cohomology of pure mapping class groups of infinite type genus one surfaces is trivial. For genus zero surfaces we prove that not every homomorphism to $\mathbb{Z}$ factors through a sphere with finitely many punctures. In fact we get an uncountable family of such maps.

研究の動機と目的

• 無限型の genus one の表面の純写像類群の1次整係数コホモロジーの構造を特定すること。
• これらの群から ℤ へのすべての準同型が、特に穴あき球面（有限個の穴）へ因数分解するかどうかを調査すること。
• 有限型構造から生じないコホモロジー類の明示的例を genus zero の場合に構成すること。
• genus zero の表面を持つ大きな純写像類群の1次コホモロジーを完全に明らかにすることで、欠落していたケースを解決すること。

提案手法

• Gervais のスター表示を用いて、genus one の表面の有限型の exhaustion によるホモロジーを分析する。
• [APV17] および [D61] の連続性結果を適用し、ℤ への非自明な準同型が連続でなければならないことを示し、発散する像の列によって矛盾を導く。
• フラスチュー表面における特定の準同型 φ を構成する。これは、曲線 γ_ai および γ_bi に関するデーン回転に非ゼロ値を割り当て、符号を反対にする。
• Lemma 4.1 を用いて、この準同型が無限個のデーン回転の無限積として閉包内の要素を特徴づけることにより、完全な純写像類群上に連続に拡張できることを示す。
• 構成された準同型が、任意の有限型表面への忘却写像を通じて因数分解しないことを示す。なぜなら、任意の穴を除去すれば、重要なデーン回転の像が自明になってしまうからである。
• 正の整数の無限余次元部分集合によってインデックス付けされる、このような準同型を無限大族に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限型の genus one の表面の純写像類群の1次整係数コホモロジーは自明か？
• RQ2 無限型の genus zero の表面の純写像類群から ℤ へのすべての準同型は、有限型の穴あき球面へ因数分解するか？
• RQ3 有限型部分表面に支持されない、明示的かつ非自明なコホモロジー類を genus zero の場合に構成できるか？
• RQ4 表面が genus zero で無限個の穴を持つとき、大きな純写像類群の1次コホモロジー群の構造は何か？
• RQ5 無限型の表面のコホモロジー類は、その有限型部分表面および商群のものとどのように関係するか？

主な発見

• 任意の無限型の genus one の表面の純写像類群の1次整係数コホモロジーは自明である：H¹(PMCG(S);ℤ) = 0。
• genus zero の表面に対しては、PMCG(S) から ℤ への準同型が存在し、それはいかなる有限型の穴あき球面への忘却写像を通しても因数分解しない。
• このような因数分解しない準同型は、正の整数の無限余次元部分集合によってインデックスづけられる無限大族が存在する。
• 構成された準同型は、コンパクトに台を持つ要素から始めて、無限個のデーン回転の積として連続かつ適切に定義されている。
• 有限型の表面へ因数分解できない主な障害は、任意の穴を除去すれば特定のデーン回転の像が自明になるが、その準同型における像は非自明であるということである。
• 結果として、大きな純写像類群の1次コホモロジーの分類が完全になり、genus zero が唯一、非自明で有限型構造に由来しないコホモロジーを持つケースであることが明らかになった。