[論文レビュー] First-Order Logic with Isomorphism

Dimitris Tsementzis|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、型理論的拡張としての第一階論理（FOL$_\cong$）を紹介する。FOL$_\cong$ は、依存する型と h-レベルを用いて、同一性型、反射性、輸送を含むホモトピー論的概念を統合する。この論文は、ホモトピー型理論内でのFOL$_\cong$の健全な公理的体系を確立し、前圏、厳密圏、ユニバーサル圏がこの論理で公理化可能であることを示している。

ABSTRACT

The Univalent Foundations requires a logic that allows us to define structures on homotopy types, similar to how first-order logic with equality ($ ext{FOL}_=$) allows us to define structures on sets. We develop the syntax, semantics and deductive system for such a logic, which we call first-order logic with isomorphism ($ ext{FOL}_{\cong}$). The syntax of $ ext{FOL}_{\cong}$ extends $ ext{FOL}_{=}$ in two ways. First, by incorporating into its signatures a notion of dependent sorts along the lines of Makkai's FOLDS as well as a notion of an $h$-level of each sort. Second, by specifying three new logical sorts within these signatures: isomorphism sorts, reflexivity predicates and transport structure. The semantics for $ ext{FOL}_{\cong}$ are then defined in homotopy type theory with the isomorphism sorts interpreted as identity types, reflexivity predicates as relations picking out the trivial path, and transport structure as transport along a path. We then define a deductive system $\mathcal{D}_{\cong}$ for $ ext{FOL}_{\cong}$ that encodes the sense in which the inhabitants of isomorphism sorts really do behave like isomorphisms and prove soundness of the rules of $\mathcal{D}_{\cong}$ with respect to its homotopy semantics. Finally, as an application, we prove that precategories, strict categories and univalent categories are axiomatizable in $ ext{FOL}_{\cong}$.

研究の動機と目的

• ユニバーサル基礎と整合する論理的枠組みを構築し、集合ではなくホモトピー型上の数学的構造についての推論を可能にすること。
• MakkaiのFOLDSを、h-レベル、同型の型、反射性述語、輸送構造を拡張することで、同型を同一性型としてモデル化すること。
• FOL$_\cong$ にホモトピー的意味論を定義し、同型の型を同一性型として解釈し、輸送を経路輸送として解釈すること。
• FOL$_\cong$ におけるホモトピー的意味論を正当化する健全な公理的体系 D$_\cong$ を構築すること。その中心となるのは命題的J則であり、反射性と輸送のための規則を含む。
• FOL$_\cong$ の表現力の高さを示すために、前圏、厳密圏、ユニバーサル圏といった主要な圏的構造が、この論理内で公理化可能であることを示すこと。

提案手法

• FOLDSのシグネチャに、各型のホモトピー次元（例えば、集合、群倣）を分類するh-レベルを追加する。
• 同型の型（同一性型として解釈される）、反射性述語（refl を特定する）、輸送構造（経路輸送をモデル化する）という3つの新しい論理的型を導入する。
• Martin-Löf型理論（MLTT）におけるFOL$_\cong$の解釈を通じてホモトピー的意味論を定義し、h-レベルmの非論理的型をm-切断型に対応付ける。
• sequent calculus を基盤とする公理的体系 D$_\cong$ を構築し、以下の規則を拡張する：(1) 反射的同型の存在、(2) 反射性に沿った自明な輸送、(3) 命題的J則。
• D$_\cong$ の健全性をホモトピー的意味論に関して証明し、すべての規則がMLTTへの解釈において真を保つことを検証する。
• この枠組みを用いて、FOL$_\cong$ で圏的構造（特にユニバーサル圏）の基本的同値性を形式化・証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一階論理はどのように拡張され、集合ではなくホモトピー型上の数学的構造についての推論を可能にするか？
• RQ2 型理論的論理において同型を同一性型として内蔵化するには、どのような句法的および意味論的拡張が必要か？
• RQ3 このような論理のための公理的体系は、ホモトピー論的意味論に関して健全に構築可能か？
• RQ4 前圏、厳密圏、ユニバーサル圏といった標準的な圏的概念は、この拡張された論理で公理化可能か？
• RQ5 FOL$_\cong$ の完全な表現力を発揮するには、特に半単純型のような無限大構成を可能にするには、どの基礎的枠組みが最適か？

主な発見

• FOL$_\cong$ は、h-レベルと新しい論理的型をFOLDSに拡張することで、ホモトピー型上の論理を可能にし、同型を同一性型としてモデル化した。
• D$_\cong$ の公理的体系はホモトピー的意味論に関して健全であり、その中心的規則は同一性型と輸送の振る舞いを捉えている。
• D$_\cong$ における命題的J則により、すべての同型が型理論的文脈における経路のように振る舞い、論理的レベルでユニバーサル性原理が正当化される。
• 前圏、厳密圏、ユニバーサル圏はすべてFOL$_\cong$ で公理化可能であり、ユニバーサル基礎における圏論の表現力が示された。
• 論文は、HoTT+I（解釈関手を仮定したホモトピー型理論）をFOL$_\cong$ の最適な基礎的枠組みとして特定し、半単純型の型のような構成を可能にした。
• この枠組みは構造同一性原理を一般化し、ユニバーサル圏の論理的シグネチャを提供する。これは、ユニバーサル基礎内でのモデル理論への道筋を示唆する。