[論文レビュー] Fitting Martingales To Given Marginals

George Lowther|ArXiv.org|Aug 17, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、与えられた確率測度族が凸順序で増加し、平均が一定で弱い連続性を満たす限り、任意の与えられた周辺分布に一致する一意で連続的な強マルコフ martingale を構築する方法を確立している。この解法は連続的なフィッティング手法として唯一であり、局所ボラティリティモデルを一般化し、ジャンプ付きまたは特異性を有する拡散過程へと拡張可能である。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a real valued martingale fitting specified marginal distributions. For this to be possible, the marginals must be increasing in the convex order and have constant mean. We show that, under the extra condition that they are weakly continuous, the marginals can always be fitted in a unique way by a martingale which lies in a particular class of strong Markov processes. It is also shown that the map that this gives from the sets of marginal distributions to the martingale measures is continuous. Furthermore, we prove that it is the unique continuous method of fitting martingale measures to the marginal distributions.

研究の動機と目的

• 所定の周辺分布を持つ実数値 martingale を構築する問題を解決すること。
• このような martingale が存在するための必要十分条件を同定すること。
• 周辺分布に対して弱い正則性条件が満たされる場合、フィッティング手続きの一意性と連続性を確立すること。
• 提案手法が周辺分布と martingale 測度を一致させる唯一の連続的手法であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、周辺分布を表すために凸ポテンシャル関数 $ C(t,x) = \int (y - x)_+ \, d\mu_t(y) $ を用い、$ t $ における単調性によって凸順序の増加性を特徴づけている。
• 連続拡散過程を一般化し、ジャンプ過程や特異的拡散を含む「ほぼ連続拡散過程（ACD）」のクラスを導入している。
• 解法は、凸ポテンシャル関数の凸錐 $ \mathrm{CP} $ における極値要素に依拠しており、離散時間近似の極限による議論により一意性を保証している。
• 有限次元分布の収束と $ \mathrm{CP} $ 上の距離計量を用いて、周辺分布から martingale 測度への写像の連続性を証明している。
• 連続的フィッティング手法の一意性の証明には、極値過程による近似と有界可測関数の期待値の収束を用いている。
• 重要な技術的道具として、有限次元分布を通じて martingale 確率測度の収束を制御可能な $ \mathrm{CP} $ 上の距離 $ d $ の使用が行われている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の与えられた周辺分布族に一致する一意的な強マルコフ martingale を構築できるか？
• RQ2 周辺分布にどのような条件を課すと、このような martingale が存在するか？
• RQ3 周辺分布の小さな摂動に対して、得られる martingale 測度は連続的か？
• RQ4 提案手法は、任意の周辺分布と martingale 測度を一致させる唯一の連続的手法か？
• RQ5 周辺分布が滑らかで正の密度を持つ場合、この方法はどのように局所ボラティリティモデルを一般化するか？

主な発見

• 周辺分布が凸順序で増加し、平均が一定で弱い連続性を満たす限り、与えられた周辺分布に一致する一意の強マルコフ martingale が存在する。
• 解法は、連続拡散過程、ジャンプ付き拡散過程、特異的拡散を含む「ほぼ連続拡散過程（ACD）」のクラスに属する。
• 周辺分布から得られる martingale 測度への写像は連続であり、周辺分布の小さな変化に対しても安定性を保証する。
• 提案手法は、与えられた周辺分布に martingale 測度を一致させる唯一の連続的手法であり、他のモデルは不連続または近似的でなければならないことを示唆している。
• この構成は局所ボラティリティモデルを一般化する：周辺分布が滑らかで正の密度を持つ場合、解は局所ボラティリティ SDE と一致する。
• 凸ポテンシャル関数の凸錐 $ \mathrm{CP} $ における極値要素を用いて、近似と極限による議論により解が構成されている。