[論文レビュー] Integrable Systems and Classification of 2-Dimensional Topological Field Theories

Boris Dubrovin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、有理係数線形作用素のモノドロミーデータを用いて2次元のマス性のあるトポロジカル自己同型場理論（TCFT）を分類し、WDVV方程式と可積分バイハミルトニアン階層の間の関係を確立し、WDVVがリーマン面におけるアーベル微分の周期を記述する普遍的な可積分方程式系であることを示している。さらに、新しい無限次元のヴィラソロ型代数を明らかにし、バイハミルトニアン形式を用いた高(genus)補正への応用を示唆している。

ABSTRACT

In this paper we consider the so-called WDVV equations from the point of view of differential geometry and of the theory of integrable systems as defining relations of 2-dimensional topological field theory. A complete classification of massive topological conformal field theories (TCFT) is obtained in terms of the monodromy data of an auxiliary linear operator with rational coefficients. The procedure of coupling a TCFT to topological gravity is described (at tree level) via certain integrable bihamiltonian hierarchies of hydrodynamic type and their τ-functions. A possible role for the bihamiltonian formalism in the calculation of higher genus corrections is discussed. As a biproduct of this discussion, new examples of infinite dimensional Virasoro-type Lie algebras and their nonlinear analogues are constructed. As an algebro-geometrical application it is shown that WDVV is just the universal system of integrable differential equations (higher order analogue of the Painleve-VI equation) specifying the periods of the Abelian differentials on Riemann surfaces as functions on moduli of these surfaces.

研究の動機と目的

• 幾何学的および可積分系の手法を用いて、マス性のある2次元トポロジカル自己同型場理論（TCFT）の完全な分類を提供すること。
• 微分幾何学および可積分系の観点から、WDVV方程式が2D TCFTにおける定義関係をどのように果たすかを確立すること。
• 可積分バイハミルトニアン階層とτ関数を用いて、TCFTの木レベルにおけるトポロジカル重力理論への結合を体系的に記述すること。
• バイハミルトニアン形式がトポロジカル場理論における高(genus)補正を計算する可能性を探索すること。
• 可積分構造の解析から自然に生じる新しい無限次元リー代数およびその非線形類似物を明らかにすること。

提案手法

• 有理係数を持つ補助的線形作用素のモノドロミー・データを用いて、マス性TCFTを分類する。
• 流体型可積分バイハミルトニアン階層の理論を応用し、TCFTの木レベルにおけるトポロジカル重力理論への結合をモデル化する。
• これらの階層に関連するτ関数を用いて、結合手続きを記述する。
• リーマン面上のアーベル微分の周期を記述する普遍的可積分系としてのWDVV方程式を分析する。
• 可積分系の構造から、新しい無限次元のヴィラソロ型リー代数およびその非線形類似物を導出する。
• 代数幾何的技法を用いて、WDVVとリーマン面のモジュライ空間との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、線形系のモノドロミー・データを用いて、マス性のある2次元トポロジカル自己同型場理論を完全に分類できるか？
• RQ2 可積分系および微分幾何学の枠組みにおいて、2D TCFTにおけるWDVV方程式の明確な役割は何か？
• RQ3 木レベルにおけるTCFTとトポロジカル重力理論の結合は、バイハミルトニアン階層およびτ関数からどのようにして生じるか？
• RQ4 バイハミルトニアン形式を、トポロジカル場理論における高(genus)補正を計算するために拡張可能か？
• RQ5 WDVVおよびTCFTの可積分構造から自然に生じる新しい無限次元リー代数は何か？

主な発見

• 補助的有理係数線形作用素のモノドロミー・データを用いて、マス性のある2次元TCFTの完全な分類が達成された。
• WDVV方程式は、リーマン面のモジュライ空間上の関数としてのアーベル微分の周期を記述する普遍的可積分微分方程式系であると特定された。
• TCFTの木レベルにおけるトポロジカル重力理論への結合は、可積分バイハミルトニアン階層およびそれに関連するτ関数を用いて体系的に記述された。
• バイハミルトニアン形式は、トポロジカル場理論における高(genus)補正を計算するための実用的枠組みであると提案された。
• WDVV方程式の背後にある可積分構造から、新しい無限次元のヴィラソロ型リー代数およびその非線形類似物が副次的につくり出された。
• WDVV系が、リーマン面のモジュライ空間の文脈において、ペイントレ・VI方程式の高次の類似物であることが示された。